[Citat] Si inca ceva, la 1,c), presupunem ca A diferit de matricea nula dar A^2 = matricea nula? Caci asa se dadea la inceput. Greu de inteles.

Da. Problema (care mai apare deghizata si in alte variante) este urmatoarea: daca B e o matrice de ordinul 2, atunci B^2=0 daca si numai daca B^n=0 pentru orice n mai mare sau egal cu 2. Astfel, daca X^2=A, atunci X^4=A^2=0 (din ipoteza), deci X^2=0, adica A=0, contradictie.

Sunt greu de cap la ora asta, imi cer scuze. Nu inteleg de ce: X^4=0 implica X^2=0? Va multumesc.

[Citat] Sunt greu de cap la ora asta, imi cer scuze. Nu inteleg de ce: X^4=0 implica X^2=0? Va multumesc.

Am mai postat undeva chestia asta.E o problema care apare sub diverse forme in mai multe variante la subiectul 2
(am identificat pana acum variantele 2,23,36).

Daca

atunci

daca si numai daca

pentru orice

Fie

Atunci avem

(Hamilton-Cayley), relatie care nu trebuie demonstrata, fiind
considerata binecunoscuta.

O implicatie e banala. Pentru cealalta, sa presupunem

Atunci

deci

Rezulta ca

si prin inductie deducem

Cum

atunci fie

si,
bineinteles, rezulta

fie

si atunci

Deci, daca X^4=0, atunci X^2=0

Am inteles acuma, si apreciez enorm efortul care l-ati facut.!

Inca ceva: "pentru orice n.=2". Adica insensul ca daca exista un n a.i. A^n=O2 atunci A^2 = O2?
Am cautat intre timp pana ati afisat si este o problema ca asta in varianta 23, sub. III anul trecut, poate vor mai folosi idei de acolo si mai departe.

Da. Cum, de fapt, rezulta din postul precedent, daca exista n>=2 astfel ca A^n=0, atunci A^2=0. Atentie! e valabil doar pentru matrice de ordinul 2.

Totusi, la 2, c): Nu este cumva vreo greseala in enunt? Poate g(a) = 0 sau asa ceva? B inclus in A evident, reciproc mi se pare imposibil. Sau au uitat sa zica ceva.

[Citat] Totusi, la 2, c): Nu este cumva vreo greseala in enunt? Poate g(a) = 0 sau asa ceva? B inclus in A evident, reciproc mi se pare imposibil. Sau au uitat sa zica ceva.

Nu e nimic gresit. Daca t e din A, atunci t=g(a) pentru un polinom cu coeficienti in Q. Impartind g la f, avem un cat c(x) si un rest h(x) de grad cel mult 3, cu coficienti din Q. Avem g(x)=f(x)c(x)+h(x). Pentru x=a, folosind ca f(a)=0, obtinem t=h(a), deci t apartine lui B.

Da, va multumesc foarte mult. Intre timp am cautat, nu stiu daca va folosi in viitor, dar in variantele 47 si 84 de anul trecut la III, am gasit probleme asemanatoare, dar solutia dumneavoastra este si mai scurta decat acolo.

la 1b) matricea nu poate fi si de forma

( -t -t^2)
( 1 t )

nu stiu sa desenez cu roz sper ca ati inteles am inlocuit a cu d si b cu c