[Citat] Asa cum ati scris mai sus avem f'(0)=1 Caracterizarea continuitatii cu ajutorul limitelor se aplica doar punctelor neizolate. Pentru cele izolate se arata ca functia este continua folosind definitia cu si .

Am inteles pana la urma. Eroarea mea consta in faptul ca derivam pe ramuri, netinand cont de faptul ca de fapt derivata ii o multime de puncte care se sunt de fapt limite; nu o alta functie care se obtine dupa o formula din functia initiala - cred ca exercitiul in te impinge spre acest rationament.
Cred ca ne intereseaza de fapt ce se intampla in imediata apropiere a punctului, nu exact in punct, cand calculam derivata intr-un punct.
Sper sa nu fi scris prostii.

Am inteles si acest aspect. Trebuie sa studiez criteriul epsilon - delta (al lui Cauchy, cred). Credeam are legatura doar cu definirea riguroasa a limitelor, nu si a continuitatii.

Va multumesc mult!

imi poate spune si mie cineva metoda de calcul a integralelor prin fractii simple?

[Citat] imi poate spune si mie cineva metoda de calcul a integralelor prin fractii simple?

Cred ca o poti gasi in orice manual de clasa a XII-a, sub numele "Integrarea functiilor rationale" (eventual cu Metoda coeficientilor nedeterminati).

Asta daca ne gindim la acelasi lucru, pentru ca intrebarea e (cel putin usor) vaga.

Ma bag si eu in vorba, nu pentru a clarifica, ci mai mult pentru a da jaloane de (dez)orientare.

Continuitatea se poate defini in mai multe moduri.
O definitie buna este:

f:X->Y este continua (intre spatii topologice, particularizand metrice, particularizand normate, particularizand bucati de IR luat in produs cartezian de cateva ori, particularizand intervale din IR) daca duce siruri (generalizate) convergente in X (in topologia lui) in siruri convergente in Y.

Continuitatea este o proprietate pur topologica.

Punctele izolate nu au prea multe siruri convergente la ele. (-> Siruri stationare. "De la o vreme" ele sunt constante.) De aceea continuitatea este asigurata si neinteresanta.

Derivabilitatea este o proprietate din afara topologiei, din afara spatiilor metrice. Avem nevoie de structura de spatiu vectorial (topologic).
Avem nevoie de minus si de impartit (cu scalari).
Pentru a defini (cum trebuie) derivabilitatea intr-un punct avem de obicei nevoie de o intreaga bila convenabila in jurul acelui punct in domeniul de definitie. Pentru IR, singura afacere ce pare a conta la scoala, lucru care nu face usoara identificarea structurilor de analiza generale si ale celor specifice lui IR, o bila in jurul unui punct este un interval deschis, centrat in jurul acelui punct.

Pentru a vedea ce este functia derivata, avem de calculat o limita in fiecare punct. In aceste puncte trebuie sa avem continuitatea, altfel am pierdut deja ocazia de a scrie ceva. Daca exista derivata, atunci ne uitam la acest ansamblu de limite calculate. Este inca un "miracol" daca derivata este continua! Faptul ca acest "miracol" se intampla foarte des in viata unui elev are de-a face cu faptul ca un caz "normal" nu poate fi explicat de la inceput unui om "normal". Primele incercari de a da (contra)exemple sunt cele de forma de mai sus, functii definite pe bucati, care (nu) se imbuca cum trebuie (la un anumit ordin de imbucare).

[Citat] imi poate spune si mie cineva metoda de calcul a integralelor prin fractii simple?

Am tras un google, primul raspuns m-a(r) fi multumit (la vremea mea de liceu):
http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcTwoDIRECTORY/partialfracdirectory/PartialFrac.html

Pilotarea e buna.
Daca mai sunt intrebari (cel mai bine pe baza celor expuse acolo), aici e locul potrivit.

In orice caz, prin aceasta metoda se pot "calcula" doar integrale de functii rationale, presupunand ca stim sa descompunem in factori numitorii.