Se dau doua triunghiuri asemenea.Construiti cu rigla si compasul un triunghi care sa aiba aria cat media geometrica a ariilor celor doua triunghiuri.

aria - medie geometrica - este data de semiprodusul dintre inaltimea unuia dintre triunghiurile asemenea si baza celuilalt triunghi considerat la inceput.

Cum cele doua elemente (inaltimea si baza) sunt cunoscute, constructia nu ar trebui sa creeze probleme.

===========================

Numai bine!

Daca vom aseza cele 2 triunghiuri asemenea astfel incat sa aiba un varf comun, iar laturile opuse varfului comun paralele, si vom uni varfurile aflate pe aceeasi parte a varfului comun (ca linie de separare vom utiliza dreapta perpendiculara pe cele doua laturi paralele), atunci aria triunghiului format, atat in stanga dreptei de separare, cat si in stanga dreptei de separare, va fi triunghiul cu aria cautata.


_______________________________

Numai bine!!!

DATI EXPLICATII un pic mai CLARE...!

Hai s? calcul?m prima dat?!

Fie ABC ?i MNP cele dou? triunghiuri asemenea cu

.

Dup? cum se ?tie, asem?narea implic?

.

Media geometric? a celor dou? arii este

.

Dar asta nu înseamn? altceva decât

de exemplu. Adic?

SAU

. În acest fel se ob?in ?i alte patru rela?ii analoage.

În principiu trebuie s? construim un triunghi având baza de lungime cât una din laturile unuia dintre triunghiuri ?i în?l?imea de lungimea în?l?imii corespunz?toare laturii corespondente celei alese. Sper c? nu e prea greu de urm?rit fraza...

Construim cu compasul, ?i apoi cu rigla lungimea laturii BC s? zicem. Folosind capetele ca dou? centre vom construi direc?ia perpendicularei ca intersec?ie a dou? cercuri. Lungimea în?l?imii din M o lu?m din triunghiul MNP cu compasul. Astfel avem dou? vârfuri posibile (unul de o parte a laturii, ?i unul de cealalt?), iar de-aici la triunghi nu mai sunt decât dou? segmente (de-o parte... ?i dou? de cealalt?).

Deci din cele ?ase cazuri putem construi 12 triunghiuri echivalente.

problema are o solutie mai simpla!

Fara a restrange generalitatea ne putem aranja cu rigla si compasul astfel incat cele doua triunghiuri asemenea date, ABC si MNP sa zicem, sa fie "in perspectiva", i.e.
AM, BN, CP se intersecteaza intr-un punct O (si OA, OM determina aceeasi semidreapta).
(Deci AB || MN, AC || MP, BC || NP.)
Construim X pe dreapta OA cu OX^2 = OA OM . (Folosim teorema inaltimii poate.)
Construim Y, Z ducand paralele din X la AB, AC si intersectandu-le cu OB, respectiv OC.
Deci XY^2 = AB MN (deoarece XY:OX = AB:OA = MN:OM) si analoagele.
Atunci avem desigur (fie legandu-ne de inaltimi, fie de sin(A) = sin(X) = sin(M) si de cate cele doua laturi ce descriu unghiurile A,X,M):

Aria(XYZ)^2 = Aria(ABC) Aria(MNP) .

Un pic mai simplu...!

Ne putem aranja desigur cu O=A=M, dar nu am ales asa ceva din motive (de simetrie si) didactice... Cer scuze!

[Citat] Un pic mai simplu...!

F?r? sup?rare: Mie mi se pare elegant ca atunci când cineva posteaz? o solu?ie ?i exist? una mai simpl? s? o prezint pe site. Comentarii gen "se poate mai simplu" nu cred ca sunt foarte utile celor interesa?i de pro-didactica.ro.

Daca ABCD este trapez AB||CD si O este intersectia diagonalelor avem ca

Daca AOB si A'O'B' sunt triunghiurile cu pricina constructia este urmatoarea:
-prelungim (AO si construim punctul C astfel ca OC=O'A'
-prelungim (BO si construim punctul D astfel ca OD=O'B'
Avem congruenta COD si A'O'B' si deci asemanarea AOB cu COD, deci paralelismul AB||CD.
Atunci triunghiul AOD sau BOC este triunghiul cautat.