Cine a formulat teorema:
DacÄ? funcÅ£ia F este continuÄ? Å?i crescÄ?toare (descrescÄ?toare) pe [a,b], atunci mulÅ£imea valorilor funcÅ£iei F pe acest interval , este tot un interval: [F(a),F(b)] (sau [F(b),F(a)] ,dacÄ? F pe acest interval este descrescÄ?toare).

Mc anticipat.

[Citat] Cine a formulat teorema: DacÄ? funcÅ£ia F este continuÄ? Å?i crescÄ?toare (descrescÄ?toare) pe [a,b], atunci mulÅ£imea valorilor funcÅ£iei F pe acest interval , este tot un interval: [F(a),F(b)] (sau [F(b),F(a)] ,dacÄ? F pe acest interval este descrescÄ?toare). Mc anticipat.

Cred ca autorul acestui fapt se pierde in negura vremii. Noi zicem ca afirmatia respectiva face parte din folclor.

Nu-ti pot raspunde nici eu la intrebare! Imi pare arau, dar sa stii ca am cautat cam o ora raspunsul la intrebarea ta! Nu ca 'ar crapa lumea' daca nu stim asta, dar ... daca ma gandesc bine, la vremea respectiva a fost o adevarata revelatie! Daca in zilele noastre orice 'smecherie' cat de mica isi gaseste repede spatiu de publicare, fiecare propunator de probleme noi ('de cand ... matematica') se mandreste ca are o contributie LA DEZVOLTAREA MATEMATICII si primeste chiar DIPLOME (vezi un site 'de-al nost''), noi cei care folosim teoreme 'clasice' sau 'folclorice' (cum le numea Euclid, si asa le zic si eu!), pentru a rezolva probleme curente, NU MAI STIM DE AUTORII LOR! Se poate spune: EI, SI? TREBUIE SA STIM TOTUL? Asa este! Nu trebuie sa stim totul, dar nici sa nu ne asteptam ca sa ne dea cineva atentie: nici acum si nici in viitor! Cat de mici sunt cei MARI! Noi suntem 'atomici' ........ Trist dar adevarat!
Daca vrei sa cauti tu mai mult, vezi http://mathworld.wolfram.com/ContinuousFunction.html
sau
http://mathworld.wolfram.com/IncreasingFunction.html
si link-urile aferente! Vei realiza cat de putin cunoastem din ceea ce se stia inca de acum 300 ani!
Numai bine!

E o consecinta a faptului ca,functia fiind continua,are proprietatea lui Darboux,deci ia toate valorile cuprinse intre f(a) si f(b).