Numărul punctelor de extrem ale funcției

este:
A)9 B)7 C)5 D)3 E) alt răspuns
Răspuns C)

Încercarea cu calculul derivatei conduce la calcule complicate.

[Citat] Încercarea cu calculul derivatei conduce la calcule complicate.

Nu trebuie calculată. Observăm că f e polinomială de gradul 10, deci f' e polinomială, de gradul 9. Aplicând Rolle, deducem că derivata are rădăcinile x_1 în (1,2), x_2 în (2,3), x_3 în (3,4). Apoi mai are rădăcinile x_4=2, x_5=x_6=3, x_7=x_8=x_9=4. În jurul punctului 3, f își schimbă semnul, așadar 3 nu e punct de extrem. În concluzie, f are 5 puncte de extrem: x_1,x_2,x_3,2 și 4.

Dar pentru a fi și puncte de extrem, nu trebuie ca derivata să își schimbe semnul în jurul acestor rădăcini? Se poate stabili acest lucru pentru rădăcinile găsite?

[Citat] Dar pentru a fi și puncte de extrem, nu trebuie ca derivata să își schimbe semnul în jurul acestor rădăcini? Se poate stabili acest lucru pentru rădăcinile găsite?

E vorba de functii polinomiale. O functie polinomiala isi schimba semnul in jurul unei radacini simple sau multiple, de ordin impar (cum este 4).

Multumesc!