Multimea valorilor parametrului real m pentru care m4^x + 4(m-1)2^x + 2m-2 >0
oricare ar fi x apartine lui R.

Eu am incercat sa notez 2^x cu un y.
Am pus conditia delta < 0 si a > 0,dar nu stiu cum sa abordez in continuare problema.
Raspunsul dat din culegere este [1,+infinit).
Ma puteti ajuta ?

[Citat] Multimea valorilor parametrului real m pentru care m4^x + 4(m-1)2^x + 2m-2 >0 oricare ar fi x apartine lui R. Eu am incercat sa notez 2^x cu un y. Am pus conditia delta < 0 si a > 0, dar nu stiu cum sa abordez in continuare problema. Raspunsul dat din culegere este [1,+infinit). Ma puteti ajuta ?

Substitutia y = 2^x este buna.
Cand x se plimba pe toata axa reala, y se plimba doar pe intervalul ( 0, +oo ) si ia desigur fiecare valoare de acolo.

Problema se reformuleaza:

Care este multimea valorilor parametrului real m pentru care
m y² + 4(m-1) y + 2m-2 > 0
oricare ar fi y > 0 (real) ?

(Echivalent, functia de gradul doi din partea stanga a inecuatiei, vazuta ca functie de variabila reala y, nu are radacini reale sau are si ambele sunt [ negative sau zero ] .)

Observatia m > 0 de mai sus este buna acum. (Limita la +oo...)

Sa observam ca pentru m = 1 (caz pe care l-as transa separat) si m > 1 , ca in raspunsul lor, produsul radacinilor este zero sau respectiv un nunar pozitiv.

Deci daca radacinile sunt reale ele au acelasi semn. Care este semnul comun? Desigur ca acesta este si semnul sumei lor...

In acest mod am terminat o implicatie.
Pentru cealalta cum argumentam?

[Citat] [Citat] Multimea valorilor parametrului real m pentru care m4^x + 4(m-1)2^x + 2m-2 >0 oricare ar fi x apartine lui R. Eu am incercat sa notez 2^x cu un y. Am pus conditia delta < 0 si a > 0, dar nu stiu cum sa abordez in continuare problema. Raspunsul dat din culegere este [1,+infinit). Ma puteti ajuta ? Substitutia y = 2^x este buna. Cand x se plimba pe toata axa reala, y se plimba doar pe intervalul ( 0, +oo ) si ia desigur fiecare valoare de acolo. Problema se reformuleaza: Care este multimea valorilor parametrului real m pentru care m y² + 4(m-1) y + 2m-2 > 0 oricare ar fi y > 0 (real) ? (Echivalent, functia de gradul doi din partea stanga a inecuatiei, vazuta ca functie de variabila reala y, nu are radacini reale sau are si ambele sunt [ negative sau zero ] .) Observatia m > 0 de mai sus este buna acum. (Limita la +oo...) Sa observam ca pentru m = 1 (caz pe care l-as transa separat) si m > 1 , ca in raspunsul lor, produsul radacinilor este zero sau respectiv un nunar pozitiv. Deci daca radacinile sunt reale ele au acelasi semn. Care este semnul comun? Desigur ca acesta este si semnul sumei lor... In acest mod am terminat o implicatie. Pentru cealalta cum argumentam?

Semnul este minus?(ati precizat ca rădăcinile trebuie sa fie negative).
Rădăcinile daca exista sunt pozitive întrucât y>0.De unde ati dedus dumneavoastra ca radacinile fie nu exista,fie sunt negative sau zero?Întrucât y>0 afirmația "sunt negative sau zero" nu e echivalenta cu "rădăcinile nu exista" ?

O sa incerc in explicatia urmatoare sa tratez problema grafic.
Pentru m < 0 avem o parabola cu ramurile in jos, deci nu convine => m > 0.

Cazul I: delta < 0 (inseamna ca parabola este situata complet deasupra axei OX)
O sa rezulte m apartine (1, 2).

Cazul II: Avand o restrictionare pe (0, +inf) (din cauza notatiei 2^x = y > 0) inseamna ca nu ne intereseaza unde se situeaza graficul functiei pe (-inf, 0] (deci poate fi si sub OX). In cazul asta, avem delta >= 0, iar radacinile trebuind sa fie din (-inf, 0) inseamna ca S <= 0 si P >= 0. Facand calculele reiese m apartine {1} reunit cu [2, +inf).

Din cele doua cazuri, prin reuniunea intervalelor obtinute, rezulta m >= 1.

[Citat] O sa incerc in explicatia urmatoare sa tratez problema grafic. Pentru m < 0 avem o parabola cu ramurile in jos, deci nu convine => m > 0. Cazul I: delta < 0 (inseamna ca parabola este situata complet deasupra axei OX) O sa rezulte m apartine (1, 2). Cazul II: Avand o restrictionare pe (0, +inf) (din cauza notatiei 2^x = y > 0) inseamna ca nu ne intereseaza unde se situeaza graficul functiei pe (-inf, 0] (deci poate fi si sub OX). In cazul asta, avem delta >= 0, iar radacinile trebuind sa fie din (-inf, 0) inseamna ca S <= 0 si P >= 0. Facand calculele reiese m apartine {1} reunit cu [2, +inf). Din cele doua cazuri, prin reuniunea intervalelor obtinute, rezulta m >= 1.

Multumesc pentru raspuns.