Se considera functia f:R->R f(x) = x ^ 2 - mx + 2,m apartine lui R.
Multimea valorilor lui m pentru care f este strict crescatoare pe intervalul
[-1,1] ?
Multimea valorilor lui m pentru care f este injectiva pe [-1,1]?

[Citat] Se considera functia f:R->R f(x) = x ^ 2 - mx + 2,m apartine lui R. Multimea valorilor lui m pentru care f este strict crescatoare pe intervalul [-1,1] ? Multimea valorilor lui m pentru care f este injectiva pe [-1,1]?

Derivata functiei date este:
f'(x) = 2x-m .

Functia data este strict crescatoare pe [-1,1]
daca si numai daca este asa pe (-1,1) deci
daca si numai daca f'(x) este > 0 pe ( -1, 1 ).

Deoarece f' este o functie strict crescatoare,
ajunge si este necesar sa impunem conditia f'(-1) > 0 .

Al doilea punct se transeaza asemanator, deoarece injectivitatea functiei continue f este echivalenta (folosind cunostinte de clasa a XI-a) cu faptul ca f este fie strict crescatoare pe (-1,1), fie strict descrescatoare pe (-1,1) .

Multumesc ca mi-ati raspuns!
La prima problema raspunsul din carte este (-infinit,-2].
Puteti sa-mi explicati de ce trebuie inclus si -2 in interval?

Iar la a doua problema ar trebui ca raspunsul sa fie (-infinit,-2] reunit cu [2,+infinit) ?

[Citat] Derivata functiei date este: f'(x) = 2x-m . Functia data este strict crescatoare pe [-1,1] daca si numai daca este asa pe (-1,1) deci daca si numai daca f'(x) este > 0 pe ( -1, 1 ). Deoarece f' este o functie strict crescatoare, ajunge si este necesar sa impunem conditia f'(-1) > 0 .

Am tiparit prea repede mai sus, partea cu rosu este gresita.
-2 trebuie inclus din motivul urmator:

Conditia echivalenta este f'(x) = 2x-m > 0 pentru x din ( -1, 1 ), asa cum se deduce simplu.

Functia f' este strict crescatoare (ca functie de x),
deci daca f'(-1) este >= 0 avem pentru orice x > -1:

f'(x) > f'(-1) >= 0

de unde

f'(x) > 0 .

Aceasta este o directie.
Din f'(-1) >= 0 , i.e. 2(-1) - m >= 0 , i.e. -2 >= m dam de intervalul "lor".

Cealalta directie: in cazul opus, f'(-1) < 0, deci functia data este strict descrescatoare in -1 si va "ramane" din continuitatea lui f' strict descrescatoare pe un interval in jurul lui -1. Se contrazice...

[Citat] Iar la a doua problema ar trebui ca raspunsul sa fie (-infinit,-2] reunit cu [2,+infinit) ?

Sa incercam impreuna.
De unde poate sa vina "celalalt interval"?

Celalalt interval poate sa vina din condiția ca functia sa fie strict descrescătoare pe [-1,1].
Eu am facut tabelul cu f'(x) si f (x).

x |-infinit -1 1 m/2 infinit
f'(x)|-------------------- 0 +++++++++
f (x)| f descrescător f crescător



Eu m-am gandit asa: pentru ca functia noastra sa fie strict descrescătoare pe [-1,1] atunci acest interval ar trebui sa fie inclus in (-infinit,m/2) si de aici am considerat ca m/2 > 1.