Din ochi, un automorfism ar fi f(A(x))=A(x).
Cum se procedeaza in general la un exercitiu la care se cere determinarea morfismelor? Si in cazul de fata?

In cazul de fata se vede ca multimea data are trei elemente.
Exista un singur grup cu trei elemente, modulo izomorfism.

Problema revine la a gasi izomorfismele lui
ZZ modulo 3 cu operatia de adunare.

Este clar ca 0 se duce in 0.
Ramane sa vedem unde putem duce generatorul 1.
Daca il ducem in 1 dam de identitate.
Daca il ducem in -1...

[Citat] In cazul de fata se vede ca multimea data are trei elemente. Exista un singur grup cu trei elemente, modulo izomorfism. Problema revine la a gasi izomorfismele lui ZZ modulo 3 cu operatia de adunare. Este clar ca 0 se duce in 0. Ramane sa vedem unde putem duce generatorul 1. Daca il ducem in 1 dam de identitate. Daca il ducem in -1...

Chiar nu ma prind...mai puteti explica odata va rog, si la limbaj de liceu daca se poate...

[Citat] [Citat] In cazul de fata se vede ca multimea data are trei elemente. Exista un singur grup cu trei elemente, modulo izomorfism. Problema revine la a gasi izomorfismele lui ZZ modulo 3 cu operatia de adunare. Este clar ca 0 se duce in 0. Ramane sa vedem unde putem duce generatorul 1. Daca il ducem in 1 dam de identitate. Daca il ducem in -1... Chiar nu ma prind...mai puteti explica odata va rog, si la limbaj de liceu daca se poate...

Consideram grupul L care este ZZ modulo 3 cu operatia de adunare.
Deci elementele lui sunt 0, 1, 2=-1 (si nu mai pun caciuli, deoarece trebuie sa scot din capul celor ce fac manualele asa ceva, devin desigur mai putin extrem in afirmatii, daca toti cei ce fac informatica pun caciuli pe zero si unu, atunci da, inteleg ca e nevoie de caciuli pana si eu...)

Tabela de adunare pe L este asa:

0 1 2
1 2 0
2 0 1

In mod explicit:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
0 + 2 = 2

1 + 0 = 1
1 + 1 = 2
1 + 2 = 0

2 + 0 = 2
2 + 1 = 0
2 + 2 = 1

Exista o "trecere", un izomorfism de la multimea data din problema la L-ul de mai sus care trimite:

A( 0 ) in 0 si
A( 1 ) in 1 si
A( 2 ) in 2 .

Pentru a vedea acest lucru ajunge sa verificam:

A(x) . A(y) = A(x+y) .

Ne-am aranjat asadar cu *structura* pe ceva ce - macar psihologic - ne este mai familiar. Acum avem de gasit izomorfismele lui L.

Desigur ca 0 merge in 0.
Ne legam de 1.
Acest element poate sa mearga fie in unu, fie in minus unu.
Obtinem cele doua izomorfisme ale lui L:

0 -> 0
1 -> 1
2 = -1 -> -1 = 2

si

0 -> 0
1 -> -1
2 = -1 -> -(-1) = 1 .

Daca ceva nu este clar, ce?

Am inteles! Si atunci cele doua functii ar fi
f(A(x))=A(x)
si
f(A(x))=A(-x).
Multumesc frumos!