Sa se determine multimea solutiilor inecuatiei : x-x^3/6-sinx ?0

Solutia este multimea numerelor reale pozitive.
Atasam functia

si o analizam pe

Atunci

,

Stim ca

.

Daca nu stim, se arata, de exemplu, integrand inegalitatea

pe intervalul [0,x], x>0;

Deci, derivata a doua e negativa pe

, deci prima derivata e descrescatoare pe acest interval si gasim

.

De aici, f este descrescatoare pe acelasi interval si

.

Presupunem ca exista x<0 pentru care inecuatia

se respecta.
Atunci -x>0 si, din ce am aratat mai devreme

.

Dar,

si rezulta

, contradictie.

Va multumesc.

/

In fine, exista o mica scapare la sfarsit. Am presupus ca

si am ajuns la

. De aici, avem ca f(x)=0.

Dar, cum f(0)=0 si f(x)=0 din teorema lui Rolle exista un punct intre x si 0 unde f` se anuleaza, pe care il notam cu c.

Din nou, f`(c)=f`(0)=0 si din aceiasi teorema a lui Rolle, derivata a doua se anuleaza intr-un punct intre c si 0.

Dar derivata a doua are derivata negativa pe R, deci e descrescatoare si nu e constanta pe niciun interval , deci nu poate sa se anuleze in mai mult de un punct. Cum f``(0)=0, abia acum am ajuns la contradictie.

Ca o observatie, aceasta inegalitate se deduce usor din formula lui Taylor a functiei sinus. De acolo,