Pe laturile (BC), (CA), (AB) ale triunghilui ABC se considera respectiv punctele M, N, P astfel ca (BM/MC)=(b/c), (CN/NA)=(c/a), (AP/PB)=(a/b), a,b,c fiind strict pozitive. Sa se determine tripletele de numere reale (m, n, p) pentru care este adevarata egalitatea

(b+c).(vectorul AM) + (c+a).(vectorul BN) + (a+b).(vectorul CP) = m.(vectorulAB) + n.(vectorulBC) + p.(vectorul CA).

Va multumesc, Cartez

Problema este din culegerea pentru admiterea la UPT.
Eu am obtinut solutia (0,0,0) care nu e in niciuna din variantele de raspuns.
Cartez

[Citat] Pe laturile (BC), ... ale triunghilui ABC se considera ... M, ... astfel ca BM/MC = b/c, ... (b+c).(vectorul AM) ...

Cum se scrie vectorul AM atunci in functie de vectorii AB si AC ?
Cautam doua ponderi, s si t, s + t = 1, astfel incat vectorial

AM = s AB + t AC .

Atunci vectorial putem scrie mai departe

BM = AM - AB = ( s AB + t AC ) - AB = ... = t ( AC - AB ) = t BC
MC = ...

Care sunt cele doua valori pentru s si t ?
Mai sunt probleme mai departe?

[Citat] [Citat] Pe laturile (BC), ... ale triunghilui ABC se considera ... M, ... astfel ca BM/MC = b/c, ... (b+c).(vectorul AM) ... Cum se scrie vectorul AM atunci in functie de vectorii AB si AC ? Cautam doua ponderi, s si t, s + t = 1, astfel incat vectorial AM = s AB + t AC . Atunci vectorial putem scrie mai departe BM = AM - AB = ( s AB + t AC ) - AB = ... = t ( AC - AB ) = t BC MC = ... Care sunt cele doua valori pentru s si t ? Mai sunt probleme mai departe?

Va multumesc pentru ideea de rezolvare, poate gresesc, dar din ceea ce se stie despre vectorul care imparte un segment intr-un raport dat, valorile pentru s si t sunt s = c/(b+c), t = b/(b+c). Continuand calculele dumneavoastra iese MC = s BC, de unde folosind ipoteza BM / MC = b / c, am lua s = c si t = b dar asta nu verifica s+t = 1, doar solutia de mai sus verifica aceasta conditie, in felul asta am rezolvat eu problema si nu-mi iese niciuna din variantele de raspuns.
Cu stima, Cartez

Vectorii AB,BC ?i CA nu sunt liniar independen?i, deci constantele m,n,p nu sunt unic determinate.

Prin urmare, trebuie s? vede?i care din r?spunsuri se potrive?te.

[Citat] Vectorii AB,BC ?i CA nu sunt liniar independen?i, deci constantele m,n,p nu sunt unic determinate. Prin urmare, trebuie s? vede?i care din r?spunsuri se potrive?te.

Va multuesc, dar ma intereseza cum se rezolva problema,
Cartez

[Citat] [Citat] Vectorii AB,BC ?i CA nu sunt liniar independen?i, deci constantele m,n,p nu sunt unic determinate. Prin urmare, trebuie s? vede?i care din r?spunsuri se potrive?te. Va multuesc, dar ma intereseza cum se rezolva problema, Cartez

Care sunt r?spunsurile din culegere?

S? întreb altfel: e vreun r?spuns în care m,n,p au valori numerice egale?

[Citat] S? întreb altfel: e vreun r?spuns în care m,n,p au valori numerice egale?

Raspunsurile din culegere sunt:

a) (2c,-2a,2b) b) (c,-a,b) c) (m,m,m), m numar real, d) (-2c,2a,-2b)
e) (-c,a -b) f) (a,-a,a)

Deoarece eu am obtinut tripletul (0,0,0), am ales raspunsul c)

Va multumesc, Cartez

Am obtinut: 0=mAB+nBC+pCA,unde 0-vectorul nul si AB,BC,CA vectori
0AB+0AC+0CA=mAB+nBC+pCA
de unde ai obtinut si tu ceea ce afirmi: m=0,n=0,p=0
Dar daca m=n=p sa vedem ce se intampla?
mAB+mBC+mCA=0
m(AB+BC+CA)=0,adevarat oricare ar fi m apartine lui R, deoarece din
AB+BC+CA=0
AB+BC=-CA
AB+BC=AC, adevarat din regula triunghiului.
Deci solutia este tripletul(m,m,m),unde m apartine lui R
Aici e inclusa si solutia m=n=p=0.
Gresesc cu ceva?