Se considera numerele complexe z1, z2, z3 de modul eagal cu 1 si z1+z2+z3 = 1. Sa se calculeze

S = z1^2013 + z2^2013 + z3^2013.

Va multumesc, Cartez

Constelatia celor trei puncte z1, z2, z3 care satisfac cele de mai sus a aparut de mai multe ori pe pagina de fata. Fiecare problema cerea ceva ce ascundea natura particulara a modului in care pot fi luate cele trei puncte.

Pentru diversiune / diversitate sa incercam aici o abordare din geometria sintetica.

Plecam cu litere normale, u, v, z in locul celor trei z1, z2, z3.
Cele trei numere complexe corespund la trei puncte

U, V, Z

de pe cercul de raza 1 centrat in originea O.
Scriem acum relatia u + v + z = 1 putin altfel, incat sa o putem interpreta mai usor geometric, anume (u+v)/2 = 1/2 - z/2 .

Traducem.
In timp ce punctul Z (respectiv z) se plimba pe cerc, punctul (ce corespunde lui) 1/2 - z/2 se plimba pe un cerc (C'), centrat in P, care corespunde lui 1/2, de raza 1/2.

Acest cerc (C') trece prin origine si prin punctul Q, care corespunde lui 1.
OQ este diametru in (C').
Sa desenam cele doua cercuri.

Fixam acum un punct W pe (C').
Care segment UV cu U, V pe cercul mare poate sa fie cu mijlocul in W?
Deoarece triunghiurile OWU si OWV sunt congruente, cazul LLL, rezulta ca ele sunt dreptunghice, deci cele doua puncte U si V se obtin ducand perpendiculara in W pe OW, intersectand-o cu cercul mare.

Bine, in cazul O=W nu avem o dreapta, trebuie sa ne descurcam manual. Si dam de z = 1 si u=-v repede destul.

Insa in rest avem o perpendiculara si chiar intamplator ea trece prin Q, deoarece OWQ este triunghi dreptunghic, pentru ca OQ este diametru in (C'), deci unghiul din W subîntinde un semicerc.

Asa sau asa dam de faptul ca unul dintre cele trei numere complexe u, v, z este 1. De aici problema ghicitoare se dizolva de la sine.

Interesanta rezolvare, dar cu numere complexe scrise sub forma trigonometrica puteti sa-mi dati o sugestie de rezolvare a problemei?

Va multumesc, Cartez

Va rog sa NU MAI FACETI ASA CEVA.
O poza va este poate azi mai simplu de inserat,
poza in sine este insa fara valoare daca cineva vrea sa raspunda.
(Sau daca incercati sa va organizati cumva informatia.)

Mult mai simplu si usor decurg lucrurile folosind LaTeX ( - limbaj care s-a etablat in scrierea de matematica in lume - ) de exemplu asa folosind idea de mai sus:

Va tog sa dati un [Citeaza] pe acest raspuns, fara a mai "cita" si raspunde.
Insa veti vedea codul si cat de usor se tipareste.

Pozele nu ne ajuta.
Mai rau, ies din peisaj si depind de alte pagini de pe net care s-ar putea sa refuze acest mod (ABUZIV) de a le folosi pozele. Daca nu ati inteles inca, din puncte de vedere juridic aceasta pagina, www.pro-didactica.ro, este raspunzatoare de folosirea "linkului" ca link (doar cu adresa url) sau ca poza (cu aratarea ei, fara a referi la pagina care o adaposteste).

Sper ca ati inteles diferenta.
(Astfel de diferente se inteleg greu in special in România de azi. Cineva trebuie sa schimbe acest lucru.)