Problemele 6 si 7 va rog mult .
Stiu ca daca functia este crescatoare sau descrescatoare functia este injectiva , dar cam atat ...

http://www.utcluj.ro/media/documents/2014/Subiecte_Matematica_iulie_2013.PDF

EDIT (ADMIN):
Tipariti pe viitor aici enuntul, cel ce raspunde este ajutat inainte sa ajute.

Il tiparesc eu deci, mult scurtat.
Este vorba de functia f de (a,x) care este

x - a pentru x mai mic sau egal cu 1 si
ax - 3 pentru x > 1 .

(6) Cand e injectiva ca functie de x, i.e. pentru ce parametru fixat a?
(7) Cand e surjectiva ca functie de x, i.e. pentru ce parametru fixat a?

In primul rand sa vedem cam cum stau lucrurile pe un exemplu.
"Cum arata" functiile de x pentru

a = -2
a = -1
a = 0
a = 1

?

Desigur ca avem graficul de fiecare data "facut din doua semidrepte".
Pe mine ma intereseaza foarte mult care sunt pantele celor doua semidrepte si de ce natura este "saltul" din punctul de lipire 1.

Descrierea in cuvinte ajuta deja.

Prima ramura strict descrescatoare, cea de-a doua strict crescatoare .
Avem dreptele y1= x-a , x<= 1 cu panta m=1 ; y2 = ax-3 cu panta m=a .
Pentru surjectivitate : 1-a>=a-3 si atunci a partine intervalului (-inf,2] sau mai trebuie pusa o conditie suplimentara pentru m ?

m>0

[Citat] Prima ramura strict descrescatoare, cea de-a doua strict crescatoare . Avem dreptele y1= x-a , x<= 1 cu panta m=1 ; y2 = ax-3 cu panta m=a .

Pana aici este bine.

[Citat] Pentru surjectivitate : 1-a_LOC GOL_>=_LOC GOL_a-3 si atunci a partine intervalului (-inf,2] sau mai trebuie pusa o conditie suplimentara pentru m ?

Nu sunt atat de importante conditiile, ci motivele pentru care le scriem / pentru care conditiile apar. Inca o data:

Cum arata graficul pentru m = 0 ?

(Daca intreb ceva, este pentru a ajuta gasirea raspunsului. Este doar o incercare de a mea de a face un pod pentru cunostintele celui ce intreaba, in speranta ca drumul spre solutie devine mai usor. In orice caz nu ma astept la o contraintrebare. Fie vine solutia, fie vine raspunsul la intrebarea pusa... Daca exista dificultati deosebite in cazul m=0, atunci intram in ele. In orice caz trebuie respectate principiile comunicarii.)

O functie strict crescatoare/strict descrescatoare este injectiva.

Derivata lui x - a este 1. De aici rezulta ca x - a este strict crescatoare.

Derivata lui ax - 3 este a, iar cum prima ramura este strict crescatoare, pentru a avea o functie injectiva, a doua ramura trebuie sa fie crescatoare de asemenea. Deci a > 0.

Acum avem o functie care are 2 ramuri strict crescatoare. Pentru ca functia sa fie injectiva, e necesar ca ramura 2 sa continue ce a inceput prima. Adica "valoarea cea mai mica" de pe ramura 2 sa fie mai mare sau egala decat "valoarea cea mai mare" de pe ramura 1.



Deci:
a > 0
si
1 - a < = a - 3