Daca ecuatia

admite o radacina dubla , atunci m=?

Ecuatia polinomiala f(x)=0 are radacina dubla u daca si numai daca f(u)=f'(u)=0. Obtinem un sistem de doua ecuatii cu necunoscutele u si m.

multumesc pentru ajutor ! eu ajunsesem la sistemul format din ecuatiile:

si nu l-am stiut rezolva asa ca am crezut ca am gresit metoda.. nu m-am gandit nicio clipa sa egalez cele doua ecuatii, dar dupa sugestia dumneavostra de-a le egala am reusit !

P.S.

Sa notam polinomul de mai sus cu P(x).
Atunci polinoamele P(x) si P'(x) au o radacina comuna.

Impartima cu rest P(x) la P'(x) si dam de restul R(x).
Atunci R(x) are de asemenea aceasta radacina comuna (ca radacina).
Putem proceda la fel cu P'(x) si R(x).

Castigul pe care il facem la fiecare pas este reducerea gradului.
Procedeul este general.

Chiar mai general
Doua polinoame au o radacina comuna daca *rezultantul* lor se anuleaza.
A se vedea:
http://en.wikipedia.org/wiki/Resultant
Pagina româna lipseste ca de obicei.

Calculul cel mai simplu este folosind determinantul matricei Sylvester...
http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester_matrix

Avem deci de calculat determinantul pentru liniile (paginate cum trebuie)

2 m 4 4 0
0 2 m 4 4
6 2m 4 0 0
0 6 2m 4 0
0 0 6 2m 4

In acest secol accentul cade mai mult pe a sti ce se face (structural) decat pe calculul brut. Calculul brut il preia computerul. Care stie deja de matricea Sylvester si de factorizarea unui determinant...

Cod PARI/GP:


(20:35) gp > M = polsylvestermatrix( 2*x^3 + m*x^2 + 4*x + 4, 6*x^2 + 2*m*x + 4 )
%1 =
[2 0 6 0 0]
[m 2 2*m 6 0]
[4 m 4 2*m 6]
[4 4 0 4 2*m]
[0 4 0 0 4]

(20:36) gp > factor( matdet( M ) )
%2 =
[m + 7 1]
[m^2 - 8*m + 20 1]

(20:36) gp > factor( 2*x^3 + (-7)*x^2 + 4*x + 4 )
%3 =
[x - 2 2]
[2*x + 1 1]

(20:41) gp > factor( 2*x^3 + (4+2*I)*x^2 + 4*x + 4 )
%4 =
[x - I 1]
[x + (1 + I) 2]


(Mai sus matricea Sylvester a polinoamelor P si P' vine transpusa, in fine, dam de acelasi determinant, care factorizat are factorii ( m + 7 ) si ...
M-am verificat, pentru m = -7 chiar se vede din noua factorizare ca polinomul initial are radacina dubla 2. La fel, daca m este cumva 4+2i, atunci -(1+i) este radacina dubla, apoi corespunzator pentru conjugate.)

Va multumesc foarte mult ! Prima metoda pot sa spun ca am inteles-o si cu siguranta cand va fi nevoie o voi folosi ! Pentru cea de a doua metoda am inteles ideea, dar la examen nu mi se permite utilizarea calculatorului si de frica sa nu gresesc la "calculul brut" nu o voi folosi, dar e bine de stiut pe viitor ce mi-ati explicat !