Legea de compozitie

, determina pe

o structura de grup, daca si numai daca:

a)

b)

c)

d)

e)

Pentru n natural impar (si probabil ca n=1 este exclus din solutia (d) din motive de conventie pentru scrierea radicalului de ordinul n) functia p(n) de ridicare la puterea n este bijectiva ca functie

IR -> IR .

Inversa ei este functia r(n) radical de ordinul n.

Atunci structura definita ( IR , * ) este transportul de structura de pe
( IR , + ) pe "celalalt IR" folosind cele doua functii.

Explicit, fie x,y in IR.
Pe acest spatiu nu avem (inca) nici o structura.
Trimitem x, y in IR-ul cu structura. Dam de x^n si de y^n.
Aici avem adunarea + pe care vrem sa o transportam (inapoi).
O folosim pentru elementele transportate (inainte)
Dam de x^n + y^n.
Folosind drumul inapoi, radicalul de ordinul n, trimitem aceasta valoare inapoi.

Transportul de structuri algebrice (prin perechi de functii bijective, inverse una alteia) duce intodeauna structuri algebrice de un tip in structuri algebrice de alt tip. La noi, structura de grup abelian pe ( IR , + ) a fost transportata in ( IR , * ) . Aceasta este demonstratia (structurala) a faptului ca * este ce se cere sa fie pentru n natural impar.

Transportul de structura este important psihologic in fata unui examen, de cele mai multe ori exemplele de structuri algebrice din examenen vin din astfel de transporturi.

Asta ne arata ca daca

e un numar natural impar, structura este grup. Acelasi lucru se intampla si pentru raspunsul b). Totusi, intrebarea era cu "daca si numai daca". Asadar, trebuie sa vedem de ce e) este incorect.

Argumentul de mai sus, arata ca n par trebuie exclus.
(Cautand e element neutru obtinem repede din 1*e=1 relatia 1 = 1+e^n, deci e=0 este singura sansa, spulberata apoi daca n este par din cauza lui (-1)*0 = 1.)

Am vrut numai sa asigur ca daca n este impar chiar obtinem o lege de grup abelian.