Înmul?ind cele dou? rela?ii ob?inem
.
Fie
. Atunci
, deci
este o progresie geometric? cu primul termen
?i ra?ia
.
Rezult?
Din a doua rela?ie de recuren?? se ob?ine
, deci
. (1)
Rezult? c? ?irul
este strict cresc?tor. Presupunem c? este m?rginit superior, deci este convergent. Trecând la limit? în rela?ia (1) se ob?ine o contradic?ie. Atunci presupunerea f?cut? este fals?, deci ?irul este nem?rginit superior ?i are limita
.
Înlocuind
în prima rela?ie de recuren?? ob?inem
sau
. (2)
Rezult? c? ?irul este descresc?tor. Cum este m?rginit inferior de 0, rezult? c? este convergent. Trecând la limit? în rela?ia (2) se ob?ine limita 0.