476) Se cere multimea valorilor lui a>=0 nr real pt care limita cand x coboara la 0 din [1/x^a - (ctgx)^a] este finita

481) Limita cand x-->0 din [tg(sinx) - x]/x^3 = ?

489) Limita cand n-->oo din n^2 * (e^1/n+1 - e^1/n) = ?

(489)
In spiritul unui calcul cat mai simplu este util sa rescriem expresia a carei limite trebuie calculata...

Verificare folosind sage:

sage: var( 'n' );
sage: limit( n^2 * ( exp(1/(n+1)) - exp(1/n) ) , n=oo )
-1

(481) Folosesc tan, notatia internationala, pentru tangenta. (In latex imi vine din start un macro de definire.)

Avem acum de calculat cateva limite mai simple.
Care este deci raspunsul?

(476) Se cere multimea valorilor lui a numar real mai mare sau egal cu 0 pentru care limita urmatoare exista si este finita:

Pentru a=0 nu avem nici un fel de probleme. Limita exista si este (1-1)/1 = 0.
Pentru a>0 ne aflam in cazul de nedeterminare (1-1)/0 in care putem aplica l'Hospital (macar intr-o directie...)

Trebuie deci sa determinam pentru care valori ale lui a>0 exista limita:

Sa rezolvam de aici impreuna.
Daca a=2 exista limita de mai sus? Ce valoare are ea?
Daca a>2 exista limita de mai sus?

[Citat] 489) Limita cand n-->oo din n^2 * (e^1/n+1 - e^1/n) = ?

Fie functia

si notam

. Atunci

este continua pe

si derivabila pe

. Din teorema lui Lagrange rezulta ca exista un

astfel incat:

ceea ce este echivalent cu:

Deoarece

, cu criteriul clestelui rezulta ca

, deci:

si atunci raspunsul este

.