Sa se calculeze limita cand x-->0 din [(1+ax)^1/x - (1+x)^a/x]/x, unde a e numar real

Incerc sa dau solutia fara artificii. Si din motive didactice, doar jumatate din solutie.

Fie a real.
Atunci aplicam l'Hospital, observand ca avem cazul unei limite de tipul (exp(a)-exp(a)) / 0 , deci determinarea 0/0.
Nu doresc sa rezolv singur acest lucru, asa ca voi sparge limita in doua si voi calcula doar una din limite...

Am omis voit cativa pasi.
exp' este derivata lui exp, deci exp. Sub acest exp se afla o functie care tinde la a cand x tinde la 0. (Am folosit acest lucru chiar la inceput.)
Primul factor tinde deci la exp(a).
Ramane se avem grija de celalalt factor,
( ax/(1+ax) - ln(1+ax) ) supra xx .
Trebuie sa aplicam l'Hospital (de doua ori). (Poate ca nu este rau sa substituim ax=y, iar pentru x->0 vom avea si y->0.)

Care este atunci cealalta limita si care este raspundul final?

Multumesc foarte mult! A doua limita mi-a dat -1/2 * a * e^a, deci limita ceruta este e^a * a(1-a)/2, adica exact raspunsul la care trebuia sa ajung :D