Fie a un nr real. Sirul definit prin sin(na), cu n nr natural, e convergent daca si numai daca:

a) a e de forma 2pi*k, k nr intreg
b) sina=0
c) cosa=0
d) a e intreg
e) nu exista un astfel de a

Daca problema a mai fost postata imi cer scuze, dar nu am gasit-o

(a) a e de forma 2pi*k, k numar intreg,
FALS, pentru a = pi inca dam de sirul constant "zero".
(una din implicatii in "daca si numai daca" este falsa, cealalta nu.)

(b) sin a = 0
OK, a este un multiplu (intreg) de pi, sin(na) este sin aplicat pe un (alt) multiplu de pi, dam de "sirul constant zero" care converge la zero.
Mai ramane sa demonstram cealalta implicatie...

(c) cos a = 0
FALS,
a este atunci un multiplu (intreg) IMPAR de pi/2,
deci subsirul lui sin(na) pentru n impar...

(d) a e intreg
FALS,
dar avem nevoie de mai multe cuvinte...

(e) nu exista un astfel de a
FALS,
a=0 ne face rost imediat de un sir constant nul, care converge la 0.

"Cealalta implicatie" (incerc sa dau o argumentare cat mai usoara, eventual va fi mai lunga)
Fie a real fixat.
Presupunem ca sirul ( sin(na) ) este convergent, ii notam limita cu S.
Desigur ca S se afla in intervalul [-1,1].

sin( (N+1) a ) = sin( Na ) cos (a) + cos( Na ) sin( a )

Rescriem

sin( (N+1) a ) - sin( Na ) cos (a) = cos( Na ) sin( a )

Ridicam la patrat. Pentru a avea acel cos(Na) la patrat.
Trecem acum la limita cu N -> oo.

( S - S cos(a) )^2 = (1-S^2) sin(a) ^2 .
S^2 ( 1 - cos(a) )^2 = (1-S^2) ( 1 - cos(a) ^2 ) .

Gasim un X acum cu S = sin(X). (S este in [-1,1]...)
Facem drumul inapoi pentru a obtine

sin( X ) - sin( X ) cos (a) = semn cos( X ) sin( a )
sin( X ) - sin( X ) cos (semn . a) = cos( X ) sin(semn .a)

sin( X ) = sin( X + semn.a )

De aici, vazand ca sin( nKa ) are "aceleasi proprietati" (sau refacand drumul peste tot cu (N+k)a = Na + Ka) putem scrie si

sin( X ) = sin( X + semn.Ka ) , pentru orice K intregb.

Atunci a este multiplu de pi daca sin(X) = 0.
Daca sin(X) nu este zero, a este multiplu de 2pi.
(Trebuie vazut doar in ce puncte sinusul poate lua "aceeasi valoare".)

Asa sau asa, a este multiplu de pi.

multumesc