Fie polinoamele f,g ? R[X] definite prin f= 2X^19 + X^13 + mX^11 + X^8 + 2X^6 + nX^2 + 2, g = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1.

Se cer valorile lui m si n pentru care f e divizibil cu g.

Edit: Am reusit sa deduc varianta corecta punand conditia ca doua dintre radacinile lui g sa fie radacini si pentru f, adica f(cos2pi/5+isin2pi/5)=0 si f(cos4pi/5+isin4pi/5)=0, insa nu am rezolvat problema in adevaratul sens al cuvantului. Oricum, abordarea e foarte greoaie si s-ar putea sa nu mearga pentru orice polinoame, deci presupun ca exista o rezolvare mai simpla.

[Citat] Fie polinoamele f,g ? R[X] definite prin f= 2X^19 + X^13 + mX^11 + X^8 + 2X^6 + nX^2 + 2, g = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1. Se cer valorile lui m si n pentru care f e divizibil cu g. Edit: Am reusit sa deduc varianta corecta punand conditia ca doua dintre radacinile lui g sa fie radacini si pentru f, adica f(cos2pi/5+isin2pi/5)=0 si f(cos4pi/5+isin4pi/5)=0, insa nu am rezolvat problema in adevaratul sens al cuvantului. Oricum, abordarea e foarte greoaie si s-ar putea sa nu mearga pentru orice polinoame, deci presupun ca exista o rezolvare mai simpla.

Fiecare radacina

a lui g este radacina de ordinul 5 a unitatii diferita de 1, deci verifica egalitatile:

.

Folosindu-le, calculam

Cum

[Citat] [Citat] Fie polinoamele f,g ? R[X] definite prin f= 2X^19 + X^13 + mX^11 + X^8 + 2X^6 + nX^2 + 2, g = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1. Se cer valorile lui m si n pentru care f e divizibil cu g. Edit: Am reusit sa deduc varianta corecta punand conditia ca doua dintre radacinile lui g sa fie radacini si pentru f, adica f(cos2pi/5+isin2pi/5)=0 si f(cos4pi/5+isin4pi/5)=0, insa nu am rezolvat problema in adevaratul sens al cuvantului. Oricum, abordarea e foarte greoaie si s-ar putea sa nu mearga pentru orice polinoame, deci presupun ca exista o rezolvare mai simpla. Fiecare radacina a lui g este radacina de ordinul 5 a unitatii diferita de 1, deci verifica egalitatile: . Folosindu-le, calculam Cum

Multumesc mult, am inteles ideea, insa raspunsul e putin cam pripit pentru ca nu e suficient sa spunem ca alfa e complex, deoarece el are o parte reala si una imaginara. Acestea doua trebuie separate si egalate cu 0, si abia apoi se poate da un raspuns. Presupun ca e suficient sa facem calculul pentru forma generala a lui alfa, adica cos2kpi/5 + isin2kpi/5

O sa calculez si voi vedea ce iese. Oricum, multumesc inca o data, cred ca nu m-as fi luminat curand

[Citat] [Citat] [Citat] Fie polinoamele f,g ? R[X] definite prin f= 2X^19 + X^13 + mX^11 + X^8 + 2X^6 + nX^2 + 2, g = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1. Se cer valorile lui m si n pentru care f e divizibil cu g. Edit: Am reusit sa deduc varianta corecta punand conditia ca doua dintre radacinile lui g sa fie radacini si pentru f, adica f(cos2pi/5+isin2pi/5)=0 si f(cos4pi/5+isin4pi/5)=0, insa nu am rezolvat problema in adevaratul sens al cuvantului. Oricum, abordarea e foarte greoaie si s-ar putea sa nu mearga pentru orice polinoame, deci presupun ca exista o rezolvare mai simpla. Fiecare radacina a lui g este radacina de ordinul 5 a unitatii diferita de 1, deci verifica egalitatile: . Folosindu-le, calculam Cum Multumesc mult, am inteles ideea, insa raspunsul e putin cam pripit pentru ca nu e suficient sa spunem ca alfa e complex, deoarece el are o parte reala si una imaginara. Acestea doua trebuie separate si egalate cu 0, si abia apoi se poate da un raspuns. Presupun ca e suficient sa facem calculul pentru forma generala a lui alfa, adica cos2kpi/5 + isin2kpi/5 O sa calculez si voi vedea ce iese. Oricum, multumesc inca o data, cred ca nu m-as fi luminat curand

Vi s-a dat calea de urmat, valorile sunt bune si mai aveti doar de adaugat cateva detalii. Daca

atunci

si avand in vedere forma lui

ajungem la o contradictie. Deci n=1 si m=0.

[Citat] Multumesc mult, am inteles ideea, insa raspunsul e putin cam pripit pentru ca nu e suficient sa spunem ca alfa e complex, deoarece el are o parte reala si una imaginara. Acestea doua trebuie separate si egalate cu 0, si abia apoi se poate da un raspuns. Presupun ca e suficient sa facem calculul pentru forma generala a lui alfa, adica cos2kpi/5 + isin2kpi/5 O sa calculez si voi vedea ce iese. Oricum, multumesc inca o data, cred ca nu m-as fi luminat curand

Banuiam ca vei avea obiectii si bine ca le ai. Dar, asa cum am spus mai sus, acel

este una din radacinile complexe ale unitatii diferita de 1, iar relatia obtinuta in final trebuie sa fie indeplinita pentru oricare din cele patru valori complexe ale lui

(si acestea nu au ceeasi parte reala!). In concluzie, nu e nevoie sa luam in discutie valorile exacte sub forma trigonometrica sau algebrica ale acelor

[Citat] [Citat] Multumesc mult, am inteles ideea, insa raspunsul e putin cam pripit pentru ca nu e suficient sa spunem ca alfa e complex, deoarece el are o parte reala si una imaginara. Acestea doua trebuie separate si egalate cu 0, si abia apoi se poate da un raspuns. Presupun ca e suficient sa facem calculul pentru forma generala a lui alfa, adica cos2kpi/5 + isin2kpi/5 O sa calculez si voi vedea ce iese. Oricum, multumesc inca o data, cred ca nu m-as fi luminat curand Banuiam ca vei avea obiectii si bine ca le ai. Dar, asa cum am spus mai sus, acel este una din radacinile complexe ale unitatii diferita de 1, iar relatia obtinuta in final trebuie sa fie indeplinita pentru oricare din cele patru valori complexe ale lui (si acestea nu au ceeasi parte reala!). In concluzie, nu e nevoie sa luam in discutie valorile exacte sub forma trigonometrica sau algebrica ale acelor

Multumesc, asta nu stiam. Totusi, ceea ce m-a facut sa va contrazic atat de repede e ca rezultatul n=1 si m=0 nu corespunde cu varianta corecta, n=2 si m=0(lucru care, probabil, ar fi trebuit sa-l mentionez). Greseala e, de fapt, putin mai inainte, in calculul lui f(alfa). Oricum, ideea conteaza. Multumesc foarte mult de ajutor

[Citat] Greseala e, de fapt, putin mai inainte, in calculul lui f(alfa). Oricum, ideea conteaza.

Da, lipsea un 2. Nu m-am gandit sa verific calculele facute in graba, ca nu ele erau importante. Trebuia sa arate asa:

Cum

Aceeasi solutie, formulata incat sa incapa si in clasa a VIII...

[Citat] Fie m,n parametrii reali. (Nu polinoame.) Fie polinoamele f,g definite prin Se cer valorile lui m si n pentru care f e divizibil cu g.

Deoarece g divide X^5-1 (catul fiind X-1), deci divide fiecare polinom de forma X^(5k)-1, k natural, rezulta ca

f e divizibil prin g
daca si numai daca
r e divizibil prin g, r fiind polinomul pe care l-am izolat mai sus.

r e divizibil prin g
daca si numai daca r=2g (comparand termenul de grad maxim, patru, de exemplu),
daca si numai daca n=2 si (m+2)=2 (comparand termenii in grad 1 si 2).

deci n=2 si m=0.

(Am dat solutia asta pentru ca nu am inteles de ce nu a fost clara solutia cu numere complexe din prima, din a doua... Identificarea polinomiala este chiar de acelasi tip! Este poate o introducere in lucrul cu numere complexe pentru cei de a VIII-a).