Buna ziua. As dori sa ma ajutati sa rezolv in exercitiu la Calcul Integral (semestrul 2, examen Calculatoare). Este o integrala cu paramentru:
I(a)=?_0^???(cos?(ax))/(1+x^2 ) ?x?

Buna! Sa rezolvam impreuna... Consideram functia (daca am inteles bine):

Atunci functia de sub integrala este absolut integrabila (oamenii o mai numesc si functie din spatiul

), deoarece este majorata in modul de functia (absolut) integrabila 1/(1+xx) > 0. Exista anumite teoreme (corolar ale teoremei Lebesgue de convergenta dominata) care ne permit sa "schimbam, ordinea" dintre procesele de integrare dupa x si derivare dupa a in formulele ce intervin. Asada, tema:

Ce este I(0) ?

Care este formula derivatei I' a functiei I ?

Ce este I'(0) ?

Exista o relatie intre derivata a doua a lui I si I si ceva "gunoaie" ? Ce ecuatie diferentiala satisface I ?

care este solutia acestei ecuatii diferentiale ?

Nota: latex-ul este totusi o afacere simpla, ne ajuta ceva in comunicare macar. Multi oameni inca considera -paralel- ca pentru a face rost de permis de conducere nu este nevoie sa sti sa te dai pe bicicleta. Totusi, pentru a-i intelege mai bine pe biciclisti, a invata din timp sa te dai pe doua roti nu strica...

Cer scuze, m-am grabit cu tiparitul si nu am fost atent. Am vazut transformata Fourier a functiei 1/(1+xx) si am crezut repede ca imediat pot transpune figuri cu ea pentru a ajunge repede la rezolvare...

Apar insa ceva probleme, daca cineva incearca sa mearga pe drumul de mai sus (si nu a auzit de distributii).

In ultima expresie putem scrie, ce-i drept, acel xx / (1+xx) drept 1 - 1/(1+xx) . Aici xx este desigur ( x patrat ) .
Din pacate m-am fentat rau cand am vazut drumul descris mai sus. Integrala din dreptul lui I derivat de doua ori nu mai este "normala".
(Functia nu mai este absolut integrabila). Iar prima derivata face de asemenea probleme asemanatoare.

Cu ceva mai multa grija se "vede" insa, ca avem o integrala dintr-o functie periodica cu integrala pe o perioada egala cu zero. De aceea trebuie sa spargem -inainte de a tot deriva- integrala de la zero la infinit in multe integrale pe perioadele functiei x -> cos(ax) respectiv x -> sin(ax), a fiind fixat.
Dar lucrul acesta nu se formalizeaza usor.

De aceea acel prim termen 1 din expresia 1 - 1/(1+xx) "se duce".

Obtinem I = I''. Solutia este deci o combinatie liniara de functiile exp(a) si exp(-a). Deoarece acel cosinus din definitia integralei este marginit de 1 in modul, integrala este marginita de pi pe doi in modul. Deci termenul cu explozia in a, acel exp(a) nu apare. Daca ne aducem aminte ce este I(0), avem o sansa sa "banuim rezultatul". Acesta este de exemplu imediat livrat de computer!

sage: I(a) = integrate( cos(a*x) / ( 1+x^2 ) , x, 0, oo )
sage: I(a)
1/2*pi*e^(-a)

Din pacate pe drum avem probleme masive, ce nu motiveaza efortul de dus in sus si jos integrale. Zilele astea am invatat ca asta ar fi solutia "ciolita", daca am avea de ales dintre cinci sau zece raspunsuri diferite pe cel bun...

Problema este deci din pacate tot o problema de analiza complexa.
Calculam mai bine

Se rezolva deci facand conturul intreg IR-ul intai, deoarece sub integrala de calculat sta o functie para. Apoi se alege drept contur semicercul de raza R si centru originea inchis cu diametrul lui care este intervalul [-R, R] din axa reala IR.

Lasam raza sa mearga la infinit.

Integrala pe arcul de cerc tinde la zero, lucru de care are grija numitorul.
Mai avem de calculat reziduurile functiei de integrat din interiorul acestui D culcat care este conturul inchis de integrat. Singurul pol este i. Avem acolo reziduul:

De aici incolo cu teorema reziduurilor.
Daca sunt neclaritati (de orce marime) rog a se pune intrebari. Numai asa facem ca generatia ce vine sa aiba "masa pusa".