Postez sub acest titlu câteva dintre problemele cele mai dificile care au fost propuse la examenele de admitere.

S? se calculeze

ASE,2001

Din postari precedente am aflat ca aproximarile prin polinoame Taylor sunt deja cunoscute din liceu. Fara indoiala ca atunci se cunoaste si dezvoltarea

pentru y care tinde spre zero in acel O( y^7 ) .
(Relatia de mai sus are urmatorul sens matematic: Diferenta dintre membrul stang, ln(1+y), si polinomul din membrul drept -fara acel O( .. ) - este o expresie care impartita la y^7 ramane marginita...)

Calculele cu "modulo y^7" se fac ca si calculele cu "modulo N", anume tot ce se divide cu acel lucru de sub modulo "pica". Legi de substitutie sunt de asemenea adevarate, daca prin substitutie in exemplul de mai sus, localizarea lui y la zero nu este violata... Se calculeaza *formal* usor - substituind y=x^5 si respectiv folosind compunerea de functii si polinoame Taylor asociate:

de unde rezulta usor ca limita ceruta este 5/2.

Cu calculatorul (sage de exemplu) putem sa aducem suport (verificare) pentru cele afirmate:

Eu stiu ca ceea ce e mai sus este complet inutil, dar asteptati acele teme de la facultate si veti intelege la ce e nevoie putere de calcul si exactitatea in el...

[Citat] Din postari precedente am aflat ca aproximarile prin polinoame Taylor sunt deja cunoscute din liceu.

Nu mai sunt de câ?iva ani. A?a c? e nevoie de alt? solu?ie.

Cu l'Hopital se obtine ca limita primei fractii este 0. Limita celei de a doua fractii o scriem

Cu l'Hopital limita primului factor din produs este 1/2, iar al doilea are ca limita 5 caci fiecare termen din suma converge la 1.

Intrebare: De unde l-am scos pe acel x^5 pe care l-am adunat si l-am scazut?

Raspuns: Din dezvoltarile Taylor de mai sus. Am putea sa-l 'ghicim' si din faptul ca ln(1+y) se comporta la fel cu y pentru valori ale lui y=x^5 apropiate de 0.

De?i susbscriu metodei lui Gauss, putem continua despicarea firului în patru.

Introducem func?ia

. Observ?m c? func?ia este continu?, apoi observ?m c? este de fapt derivabil?, cu derivata continu?.

(cu l'Hopital). Ce avem de calculat? Avem de calculat

Putem aplica l'Hopital. Derivata numitorului este unu, iar cea a num?r?torului este