Se considera functia f:R cu valori in R, f(x)=x^2-(m-1)x+3m-4,m apartine lui R.
a)Care este multimea valorilor lui m pentru care f se anuleaza in (0,1) si f(x) este mai mare sau egala cu zero, oricare x apartine (0,1).
b)Care este multimea valorilor lui m pentru care f(x)<0, oricare x apartine (0,1).

(a) Fie m un astfel de numar cu cele doua proprietati:
[P1] f are o radacina x1 in intervalul *deschis* (0,1),
[P2] f este mai mare sau egala cu 0 in (0,1), deci si intr-o vecinatate convenabila a lui x1.

Din [P2] rezulta ca x1 este o radacina dubla. (Altfel intervalul dintre cele doua radacini are intersectie nevida cu intervalul (0,1) iar semnul functiei este opus celui pentru valori catre plus sau minus infinit ale argumentului...)

Daca x1 este radacina dubla, atunci x1 este si abscisa minimului lui f, deci aceasta radacina este (m-1)/2.
Mai notamn cu Delta(m) discriminantul functiei de gradul doi date.
Atunci cele doua conditii, [P1] si [P2] pentru m, sunt echivalente cu:

Exista doar doua valori ale lui m ce anuleaza discriminantul de mai sus, dintre ele doar

se afla in intervalul (1,3).

(b) Indicatie:
Cazurile (cele doua valori diferite pentru m) in care 0 sau 1 este radacina a lui f se transeaza repede separat. (Preferinta didactica).

Consideram acum doar m-uri pentru care 0 si 1 nu sunt radacini.
Conditia
[Q] Pentru orice x in (0,1) avem f(m,x)<0
se rescrie atunci echivalent succesiv:
[Q1] Pentru orice x in [0,1] avem f(m,x)<0
[Q2] Pentru x=0 si pentru x=1 avem f(m,x)<0.

[Q2] ar trebui acum sa fie o prada usoara... Aceasta conditie exprima faptul ca (radacinile reale exista, sunt diferite si) intervalul dintre radacini contine intervalul [0,1], echivalent doar punctele 0,1.

Cu punctul b) m-am mai chinuit un pic, dar pana la urma a iesit...Multumesc.