Se considera matricele
A=

, B=

.Se noteaza cu X o matrice formata din elementele 0 si 1 care transforma prin inmultire matricea A in matricea B si cu M multimea matricelor X.Cate elemente contine multimea M?

[Citat] Se considera matricele A= , B= .Se noteaza cu X o matrice formata din elementele 0 si 1 care transforma prin inmultire matricea A in matricea B si cu M multimea matricelor X.Cate elemente contine multimea M?

Exist? exact 2 solu?ii. Acest fapt este u?or de v?zut, folosind doar defini?ia înmul?irii matricelor.

Poate ca problema devina mai clara daca mai facem una de aceeasi culoare:

Fie A matricea (coloana) 10x1 cu intrarile (in ordine pe coloana):
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, elemente numere reale. (Ca sicana irelevanta mai putem permuta intrarile...)

Fie B=A (sau o matrice obtinuta prin permutarea intrarilor lui A, doar ca sicana fara importanta).

Cate matrici X peste IR, diferite intre ele, de marime 10x10 cu intrarile doar fie zero, fie unu, exista astfel incat sa avem:

AX=B ?

P.S. Cer scuze, daca se simte nevoia de calculator pentru a da de numarul exact, imi ajunge o descriere a modului in care facem rost de X-uri si a modului de numarare, ceva cartezian pe acolo...

P.S.2. Aceasta problema este desigur un nou prilej de a vorbi despre problemele adresate mai ales scolarilor de clasa a IV-a, a V-a si a VI-a... (La cate probleme mai grele au rezolvat ei, imi e greu sa cred ca nu le e deja cunoscuta inmultirea matricilor.)

P.S.3. Cu urmatorul programel pari/gp facem rost de toate solutiile, in cazul in care "problema analoaga" se propune pentru N=3, respectiv N=4, respectiv N=5:

(Este un program "brut", urat si neeficient, deja pentru N=6 dureaza prea mult ca sa considere toate 2^(6.6) cazuri... Cum arata unul eficient?)

In fine, pentru 3,4,5 livreaza:

? reprezentari(3)
[1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1]
[1, 0, 0; 0, 1, 0; 1, 1, 0]
Numarul de solutii este: 2

? reprezentari(4)
[1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1]
[1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0; 1, 0, 1, 0]
[1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0; 1, 1, 0, 0; 0, 0, 0, 1]
[1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0; 1, 1, 0, 0; 1, 0, 1, 0]
Numarul de solutii este: 4

? reprezentari(5)
[1, 0, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 1, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 0, 1]
[1, 0, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 1, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 0; 0, 1, 1, 0, 0]
[1, 0, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 1, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 0; 1, 0, 0, 1, 0]
[1, 0, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 1, 0, 0; 1, 0, 1, 0, 0; 0, 0, 0, 0, 1]
[1, 0, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 1, 0, 0; 1, 0, 1, 0, 0; 0, 1, 1, 0, 0]
[1, 0, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 1, 0, 0; 1, 0, 1, 0, 0; 1, 0, 0, 1, 0]
[1, 0, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 0; 1, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 0, 1]
[1, 0, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 0; 1, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 0; 0, 1, 1, 0, 0]
[1, 0, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 0; 1, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 0; 1, 0, 0, 1, 0]
[1, 0, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 0; 1, 1, 0, 0, 0; 1, 0, 1, 0, 0; 0, 0, 0, 0, 1]
[1, 0, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 0; 1, 1, 0, 0, 0; 1, 0, 1, 0, 0; 0, 1, 1, 0, 0]
[1, 0, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 0; 1, 1, 0, 0, 0; 1, 0, 1, 0, 0; 1, 0, 0, 1, 0]
Numarul de solutii este: 12

Cu aceasta ocazie devine mult mai clara natura "problemelor":

Ce numar urmeaza in sirul 2, 4, 12, ... ?!

Ce numar urmeaza in sirul 2, 2.2, 2.2.3, 2.2.3.4, 2.2.3.4.5, 2.2.3.4.5.6, ... ?!

(Si sper din inima sa nu mai dau de neintelegeri provocate de noi alegeri nastrusnice de facut rost de numere din numere cu legi in faradelege ...)

Sa se calculeze restul impartirii in inelul polinomial

al polinomului

la polinomul

Aveti dreptate...