Postez sub acest titlu câteva dintre problemele cele mai dificile care au fost propuse la examenele de admitere.

Se consider? ecua?ia

unde

?i

S? se arate c? dac?

e o solu?ie complex?, nereal? a ecua?iei, atunci

Fie z indice zero solutia nereala a ecuatiei.Deoarece in problema ni se spune ca ecuatia data are coeficienti reali atunci inseamna ca admite ca solutie si conjugata ei, z indice zero barat.Cele doua radacini mentionate verifica ecuatia, deci:
z indice zero^n +nzindice zero +a=0
z indice zero barat^n +nzindice zero barat +a=0
Scadem cele doua relatii:
z indice zero^n-z indice zero barat^n +n(z indice zero-zindice zero barat)=0
Deoarece zindice zero este pur imaginar paranteza este diferita de zero.Se poate deci simplifica cu paranteza si obtinemrenunt la scrierea indicelui zero...offf Latexul asta...)
z^n-1+z^n-2 ori z barat+...+z^n-1 barat=-n
Folosind inegalitatea triunghiului si faptul ca modulul unui numar complex este egal cu modulul conjugatei, adica ,de fapt, fiecare termen al sumei este de forma z^n-1, obtinem:

|z^n-1+...z^n-1 barat|<sau egal |z^n-1|+...+|z^n-1 barat|
|-n|<sau egal n|z^n-1| de unde rezulta |z|>1

Solutie alternativa (imi aminesc ca, eleva fiind,am preferat solutia data de tine;acum totusi solutia folosind forma trigonometrica a numerelor complexe imi pare mai usoara ).Asadar:

Avem numarul:

Inlocuind in ecuatie,rezulta

Consideram acum partea imaginara si obtinem:

Pentru

obtinem:

,adica

Dem. prin inductie ca:

In concluzie:

deci |z|>1

Dac? not?m

atunci

Desigur, si inductia merge ca mai sus pomenit via