Am vazut o rezolvare cu suma Riemann si cu dezvoltarea in serii Taylor, pe care oarecum am inteles-o, dar nu cred ca as sti s-o aplic altora, mai ales in conditii de examen.
Problema este pusa langa limitele de clasa a XI-a (nu langa sumele Riemann), deci cred ca se poate rezolva cumva la nivelul clasei a XI-a.
Stie careva cum? Chiar si cu suma Riemann, dar fara Teorema lui Taylor?

Raspunsul este

.

Pana la urma au dat problema asta la examen pentru cazul p=q=2.


Este aici rezolvarea de care spuneam mai sus (nu stiam atunci de Pro-Didactica); sper ca este voie cu link extern - nu este reclama.
http://www.mathhelpforum.com/math-help/pre-calculus/83858-limit-when-n-infinity.html

[Citat] Am vazut o rezolvare cu suma Riemann si cu dezvoltarea in serii Taylor, pe care oarecum am inteles-o, dar nu cred ca as sti s-o aplic altora, mai ales in conditii de examen. Problema este pusa langa limitele de clasa a XI-a (nu langa sumele Riemann), deci cred ca se poate rezolva cumva la nivelul clasei a XI-a. Stie careva cum? Chiar si cu suma Riemann, dar fara Teorema lui Taylor? Raspunsul este .

Si pana la urma cum se rezolva...??

Superba rezolvare!Va multumesc.

Incepusem si eu sa bat ceva in incercarea de a evita Taylor si analiza infinitezimala ``mai dura''...
am dus pana la capat ca sa se vada ca "aceeasi solutie" poate avea des haine foarte diferite.
Personal consider ca solutia de mai sus este cea in forma cea mai buna.
Totusi, pentru a sari altfel unul dintre puncte, s-ar putea ca cu cele ce urmeaza cate o eleva sau cate un elev sa se simta mai confortabil.

Notatiile de mai sus sunt bune, asa ca am incercat sa le preiau.

Fie deci a = p/q .
Fie b = 1/q

``Omitem'' primul factor din expresia din enunt, care oricum converge la 1.
Notam cu L(n) "lista de elemente"

Notam cu G( L(n) ) media geometrica a elementelor din lista L(n).
Notam cu A( L(n) ) media aritmetica a elementelor din lista L(n).
Notam cu H( L(n) ) media (h)armonica a elementelor din lista L(n).

Cunoscand inegalitatea mediilor, ne putem deci reduce la a intelege o suma.
(Inegalitatea mediilor se poate demonstra (cel mai usor) folosind concavitatea functiei logaritm. Mai sus este un pasaj...)

Ne dam de acum un epsilon > 0.
O sa avem nevoie de el ca sa nu ne intrerupem prea abrupt din urmatoarea insiruire de formule pentru a continua dupa o mica pauza. Cele scrise totusi in mica pauza, trebuie (strict vorbind) luate de acolo si puse tot aici, la inceput, sub forma "Fie n mai mare sau egal decat acel N(epsilon care asigura)..." Dar noi vom introduce N(epsilon) cand apare natural. (In olimpiade trebuie introdus aici, in didactica trebuie poata facuta fonta asta la siret.)
Avem:

Sper ca se intelege ce inseamna "intre ..." unde in loc de ... sta o expresie cu plus/minus.

(Deoarece inceputul A(L(n))^n nu depinde de epsilon, putem trece la limita
mai intai cu n spre infinit si
cu epsilon spre zero
in dubla inegalitate

... mai mic sau egal A(L(n))^n mai mic sau egal ...

astfel implicit obtinuta. Este insa o mica diferenta intre ceea ce simtim si ceea ce putem scrie matematic riguros.)

Deoarece nu stim ca exista limita, cel mai bine ne scapam daca scriem mai intai:

si apoi trecem cu epsilon la limita spre zero, dam astfel de

Deci liminf si limsup din sirul nostru de medii aritmetice la puteri... coincid, deci exista si limita, care este

Mai ramane acum partea cu media armonica... Sa observam rescrierea

Pentru a vedea ca avem ``acelasi calcul'', ne uitam la abatere, aceasta este
1/(n+ak) - 1/(n+ak+1) = 1/(ceva ce creste patratic in n)
iar seria din ce e pe dreapta converge la ceva finit. Acest ceva finit va fi decimat de n-ul din numaratorul seriei armonice suficient de tare, cat sa ne ajunga sa intre in acel interval cu plus/minus epsilon ``de la o vreme''.

Mergand acum pe acelsi drum, dam de aceeasi limita.

http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=21&ID=9591&start=10