sirul a(n)=1^9+2^9+...+n^9-a*n^10 este convergent daca a=?

[Citat] sirul a(n)=1^9+2^9+...+n^9-a*n^10 este convergent daca a=?

Daca prin convergent intelegem ca are limita finita, atunci raspunsul este multimea vida. Daca prin convergent intelegem si limita infinit sau -infinit, atunci raspunsul este multimea numerelor reale.

Indicatie: Exista un polinom de grad 10, P(x) astfel incat

pentru orice n natural. Ca fapt divers coeficientul dominant al lui P este 1/10.

Sirul

,unde a este real,
este convergent daca a este...

Se poate un pic mai detaliat...?

[Citat] Sirul , unde a este real, este convergent daca a este... Se poate un pic mai detaliat...?

DACA sirul cu termenul general de mai sus este convergent in IR (catre o limita finita), atunci sirul cu termenul general urmator

converge la zero. Deci DACA avem vreo convergenta, acel a trebuie sa fie a=1/10.
Din pacate, pentru a=1/10 nu avem convergenta. Cu cunostinte putin avansate
http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials#Sums_of_pth_powers
"se stie ca" diferenta din formula lui a_n este un polinom (Bernoulli fara monomul principal) de grad 9 in n cu coeficient principal nenul, iar un astfel de polinom de grad 9 o taie vertiginos la plus sau minus infinit, dupa cum il obliga coeficientul principal.

Cred ca este mult mai util sa dau cateva formule, daca tot am calculator il pot pune sa faca o munca utila...

sage: def S(p): return ( bernoulli_polynomial( n+1, p+1 ) - bernoulli_polynomial( 0, p+1 ) ) / (p+1)
....:
sage: S(2)
1/3*(n + 1)^3 - 1/2*(n + 1)^2 + 1/6*n + 1/6
sage: S(2).expand()
1/3*n^3 + 1/2*n^2 + 1/6*n
sage: S(2).factor()
1/6*(n + 1)*(2*n + 1)*n
sage:
sage: S(9)
1/10*(n + 1)^10 - 1/2*(n + 1)^9 + 3/4*(n + 1)^8 - 7/10*(n + 1)^6 + 1/2*(n + 1)^4 - 3/20*(n + 1)^2
sage: S(9).expand()
1/10*n^10 + 1/2*n^9 + 3/4*n^8 - 7/10*n^6 + 1/2*n^4 - 3/20*n^2
sage: S(9).factor()
1/20*(n + 1)^2*(n^2 + n - 1)*(2*n^4 + 4*n^3 - n^2 - 3*n + 3)*n^2

Mai sus este formula pentru suma puterilor de ordinul 9 ale unui caraus k ce pleaca de la 0 la n. (Eu il iau si pe 0 de obicei ca sa fie si mai clar ca rezultatul se divide cu n...)

Un elev harnic poate sa faca usor calculul de verificare prin inductie, daca este pus la treaba de un profesor indaratnic.

Iata formulele pentru primele cateva puteri...
Cod sage care le genereaza (in latex):

var( 'n' )
for p in [0..9]:
P = ( bernoulli_polynomial( n+1, p+1 ) - bernoulli_polynomial( 0, p+1 ) ) / (p+1)
print "\\sum_{0\\le k\\le n}k^%s\n&= %s\n\\\\\n&= %s\n\\\\" % \
( p, latex( P.expand() ), latex( P.factor() ) )

Coeficientul principal este mereu 1/(p+1) in puterea de ordin (p+1).
Urmatorul coeficient este mereu 1/2.

Exista si alte metode mai pedestriene de facut rost de sumele de mai sus.
Cea mai structurala din punctul de vedere al teoriei numerelor este cea de mai sus. Intelegerea polinoamelor Bernoulli poate conduce la demonstrarea catorva conjecturi legate de functia zeta (peste QQ sau peste corpuri de numere), elevii ambitiosi sunt rugati sa citeasca, drumul nu este o infundatura, din contra, viata e lunga, dar drumul in aceasta directie va fi si mai lung...

Apreciez amabilitatea dvs.E mai mult decat clar.Ceea ce ma surprinde,este faptul ca,cei de la Cluj,folosesc foarte multe notiuni care se vor face in facultate...desi culegerea se adreseaza elevilor care bat la portile ei...