Sa se rezolve in numere naturale

.

a!,b! si c! fiind numere naturale strict pozitive este clar ca a<c si b<c.
Avem 2 cazuri:

I. a=b

In aceasta situatie observam ca solutii posibile:
a=b=0, c=2
sau
a=b=1, c=2.
In rest, ecuatia se rescrie 2*a!=c! => a!=c!/2, imposibil deoarece doua factoriale pot fi egale daca reprezinta acelasi produs de numere, ori c! "pierde " un 2 in urma simplificarii.

II. a<b (analog poate fi tratat si a>b)

In acest caz se observa ca solutie:
a=0, b=1, c=2 (sau a=1, b=0, c=2 atunci cand a>b).
In rest, impartim ecuatia data prin a! (in celalalt caz prin b!) si obtinem:

1+(a+1)*(a+2)*...*b=(a+1)*(a+2)*...*c

Aceasta ultima ecuatie nu are solutie deoarece (a+1)*(a+2)*...*b si (a+1)*(a+2)*...*c sunt numere pare (fiind produse de minim doua numere consecutive) si evident 1+(a+1)*(a+2)*...*b este impar, ceea ce conduce la o ecuatie imposibila.

excelent!

Profit de aceasta problema si lansez urmatoarea intrebare:

Cum putem "justifica" intr-un mod intuitiv ca

?

[Citat] Profit de aceasta problema si lansez urmatoarea intrebare: Cum putem "justifica" intr-un mod intuitiv ca ?

• Daca acceptam regula
  
  atunci
  
  , deci
  
  
  
• Daca definim
  
  ca fiind numarul de permutari ale unei multimi cu n elemente, atunci numarul de permutari ale multimii vide este 1 (singura relatie definita pe multimea vida este insasi multimea vida; aceasta relatie este si functie! deci multimea permutarilor multimii vide consta din multimea
  
  , care are un element)
  
• Functia
  
  , definita prin integrala (improprie)
  
  
  
  are proprietatea ca
  
  pentru orice numar intreg
  
  . Mai mult,
  
  
  
  

Multumesc Euclid.
Primele 2 justificari sunt cele pe care le stiam si eu...
A treia justificare chiar daca e mai putin intuitiva este insa interesanta.