Pe masa sunt 31 de chibrite cu care Aurel si Bianca joaca urmatorul joc: fiecare ia intre 1 si 4 chibrite pana nu mai raman chibrite pe masa. Castiga cel care va avea un numar par de chibrite in final. Daca Aurel incepe jocul, cine va castiga si cu ce strategie?

strategia sigur e cu k bete...celalalt alege 5-k bete.

Dar nr par de bete...trebuie sa mai studiez terenu...sa vad care e castigatorul...primul sau al doilea

Primul jucÄ?tor câÅ?tigÄ? întotdeauna! Pentru aceasta trebuie sÄ? joace în felul urmÄ?tor: (am sÄ? scriu

pentru a spune cÄ? jucÄ?torul A ia k beÅ£e, la fel cu jucÄ?torul B)
Mutarea 1.

Mutarea 2.

Mutarea 3.

Mutarea 4.

DupÄ? efectuarea acestor mutÄ?ri, au rÄ?mas 12 beÅ£e,Å?i e la mutare B. Ã?nainte de a face urmÄ?toarea mutare,jucÄ?torul A trebuie sÄ?-Å?i facÄ? totalul beÅ£elor.
a) DacÄ? îi mai sunt necesare un numÄ?r par de beÅ£e, mutarea sa de rÄ?spuns va fi:
Mutarea 5.

DupÄ? acest rÄ?spuns este uÅ?or de continuat pentru a gÄ?si calea spre câÅ?tig. DacÄ? aÅ? avea rÄ?bdarea pe care o are silviadana, Å?i timp aÅ? scrie toate mutÄ?rile pânÄ? la capÄ?tul jocului, dar ele pot fi uÅ?or gÄ?site de oricine.
b) DacÄ? îi mai sunt necesare un numÄ?r impar de beÅ£e, mutarea sa de rÄ?spuns va fi:
Mutarea 5.

Å?i în acest caz, este uÅ?or de continuat Å?i jucÄ?torul A câÅ?tigÄ? indiferent de mutÄ?rile lui B.
AÅ? fi preferat sÄ? gÄ?sesc un algoritm mai uÅ?or, dar nu am gÄ?sit.Poate dacÄ? ar fi timp mai mult.Nu am pretenÅ£ia cÄ? mutarea de rÄ?spuns nr. 5 este unicÄ?, deoarece m-am oprit în momentul în care am gÄ?sit o mutare favorabilÄ?.

[Citat] Primul jucÄ?tor câÅ?tigÄ? întotdeauna! Pentru aceasta trebuie sÄ? joace în felul urmÄ?tor: (am sÄ? scriu pentru a spune cÄ? jucÄ?torul A ia k beÅ£e, la fel cu jucÄ?torul B) Mutarea 1. Mutarea 2. Mutarea 3. Mutarea 4. DupÄ? efectuarea acestor mutÄ?ri, au rÄ?mas 12 beÅ£e,Å?i e la mutare B. Ã?nainte de a face urmÄ?toarea mutare,jucÄ?torul A trebuie sÄ?-Å?i facÄ? totalul beÅ£elor. a) DacÄ? îi mai sunt necesare un numÄ?r par de beÅ£e, mutarea sa de rÄ?spuns va fi: Mutarea 5. DupÄ? acest rÄ?spuns este uÅ?or de continuat pentru a gÄ?si calea spre câÅ?tig. DacÄ? aÅ? avea rÄ?bdarea pe care o are silviadana, Å?i timp aÅ? scrie toate mutÄ?rile pânÄ? la capÄ?tul jocului, dar ele pot fi uÅ?or gÄ?site de oricine. b) DacÄ? îi mai sunt necesare un numÄ?r impar de beÅ£e, mutarea sa de rÄ?spuns va fi: Mutarea 5. Å?i în acest caz, este uÅ?or de continuat Å?i jucÄ?torul A câÅ?tigÄ? indiferent de mutÄ?rile lui B. AÅ? fi preferat sÄ? gÄ?sesc un algoritm mai uÅ?or, dar nu am gÄ?sit.Poate dacÄ? ar fi timp mai mult.Nu am pretenÅ£ia cÄ? mutarea de rÄ?spuns nr. 5 este unicÄ?, deoarece m-am oprit în momentul în care am gÄ?sit o mutare favorabilÄ?.

Pentru cazul par toate sunt in regula
Dar pentru cazul impar cand avem

nu mai e asa in regula

in urma acestei mutari raman 10 bete, B-ul fiind primul care muta
daca B alege 3 bete, raman 7, iar lui A ii trebuie un nr par de bete

si avem cazurile

[Citat] Pentru cazul par toate sunt in regula Dar pentru cazul impar cand avem nu mai e asa in regula

Ghinionul este ca pentru

la mutarea 5, A nu are raspuns favorabil. M-am grabit, aÅ?a cÄ? trebuie schimbatÄ? strategia de joc!

La genul acesta de jocuri este util de studiat in sens invers: reducem problema la una cunoscuta.

Indicatie

Inca niste indicatii:

Cand pe masa mai sunt 6 chibrite, jucatorul la mutare castiga daca si numai daca are un numar par de chibrite, caz in care ia un chibrit si-l lasa pe adversar cu 5 chibrite pe masa si numar impar de chibrite in mana.

Cand pe masa sunt 7 chibrite jucatorul la mutare castiga daca si numai daca are numar impar de chibrite in mana, caz in care ia 2 chibrite si-l lasa pe adversar cu 5 chibrite pe masa si numar impar de chibrite in mana.

Rezumam ce stim pana acum:

Jucatorul la mutare pierde
-cu numar impar de chibrite in mana, daca pe masa sunt 5 sau 6 chibrite
-cu numar par de chibrite in mana, daca pe masa sunt 1 sau 7 chibrite

Jucatorul la mutare castiga in celelalte situatii cu cel mult 7 chibrite pe masa.

In continuare se poate arata ca jucatorul la mutare castiga indiferent de numarul de chibrite din mana daca pe masa sunt 8, 9, sau 10 chibrite.

Acum ar trebui ghicita periodicitatea situatiilor.

Comentariu: Probabil 31 este prea mare. Problema se rezolva la fel si pentru 13 chibrite pe masa la inceput.