a)Sa se determine numarul maxim, m, de sfere cu raza r avand proprietatea ca fiecare sfera este tangenta la celelalte m-1 sfere
b)Sa se determine raportul razelor a altor doua sfere,fiecare tangenta cu cele m sfere de la punctul a)

NumÄ?rul maxim de sfere ce îndeplinesc condiÅ£ia din enunÅ£ este de 4 Å?i corespunde situaÅ£iei în care centrele lor sunt în vârfurile unui tetraedru regulat de muchie

. Celelalte douÄ? sfere tangente acestora sunt concentrice, cu centrul in centrul tetraedrului. Cea mare "înghite" cele patru sfere de razÄ? r, iar cea micÄ? este "între" ele. Razele lor sunt:

Å?i

, iar raportul lor este egal cu

.

Raspunsul este bun. Cum aratam ca sunt doar 4 sfere ? Cum ati calculat razele ?

[Citat] Raspunsul este bun. Cum aratam ca sunt doar 4 sfere ? Cum ati calculat razele ?

[eq
DacÄ? 3 sfere de raze

sunt tangente douÄ? câte douÄ?, centrele lor determinÄ? un triunghi echilateral. O a patra sferÄ? de razÄ? r,dacÄ? e tangentÄ? cu toate cele trei sfere, trebuie ca centrul ei

sÄ? determine cu oricare douÄ? din punctele

un triunghi echilateral.Deci centrele celor patru sfere sunt vârfurile unui tetraedru regulat de laturÄ? 2r. O a cincea sferÄ? de razÄ? r tangentÄ? la toate celelalte 4 nu existÄ? cÄ?ci ar trebui ca centrul ei sÄ? formeze tetraedru regulat cu oricare trei din cele patru centre, ceea ce este imposibil.(Nu am pretenÅ£ia cÄ? ar fi singura demonstraÅ£ie, dar aÅ? fi curios sÄ? vÄ?d o justificare mai scurtÄ? pentru acest lucru care mie mi se pare evident!)
Ã?n ce priveÅ?te calculul razelor:
Sfera mare, ce conÅ£ine cele patru sfere de razÄ? r Å?i le este tangentÄ?, are centrul în centrul tetraedrului

, adicÄ? la intersecÅ£ia înÄ?lÅ£imilor sale, care este situatÄ? pe fiecare înÄ?lÅ£ime la 3/4 de vârf. Raza ei este egalÄ? cu 3/4 din înÄ?lÅ£imea tetraedrului(raza sferei circumscrise tetraedrului) plus r.
Sfera micÄ? situatÄ? între cele patru sfere, are centrul în acelaÅ?i punct cu cea mare Å?i, fiind tangentÄ? sferelor de razÄ? r, raza ei este egalÄ? cu 3/4 din înÄ?lÅ£imea tetraedrului minus r.
( Nu am considerat cÄ? ecazul sÄ? redau calculul pentru raza sferei circumscrise tetraedrului)

Raspunsul este foarte bun...

[Citat] (Nu am pretenÅ£ia cÄ? ar fi singura demonstraÅ£ie, dar aÅ? fi curios sÄ? vÄ?d o justificare mai scurtÄ? pentru acest lucru care mie mi se pare evident!)

Putem sa ne gandim la o impartire a spatiului de catre planurile care trec prin centrele sferelor. Centrele oricaror 3 sfere tangente vor determina un plan. Intr-unul dintre cele 2 "semispatii" se va gasi ce-a de-a patra sfera. O a cincea sfera este imposibil sa mai fie tangenta cu cele 4 sfere deoarece toate semispatiile determinate de fiecare 3 sfere, din cele 4, vor avea puncte comune(se intersecteaza) in tetraedul de care ati pomenit(in care sa putem plasa a 5-a sfera). Putem aseza a 5-a sfera doar "intre" cele 4 sfere...ori asa cum arata b) acolo raza este mai mica decat r. Analitic, daca fixam un reper cartezian tridimensional in centrul de greutate al tetraedului(de exemplu), putem sa aratam , prin coordonatele din semispatiile "exterioare" tetraedului, ca aceste semispatii sunt disjuncte simultan.

p.s. In afara axiomelor, orice enunt adevarat in matematica trebuie demonstrat...inclusiv cele "evidente".Bineinteles ca nu intodeauna facem demonstratii "de la Adam si Eva".Ne bazam afirmatiile pe alte demonstratii (leme, teoreme,consecinte, proprietati etc. demonstrate anterior). Am facut aceasta precizare pentru elevii care citesc acest topic , pentru a nu uza prea des de cuvantul "evident"