Mutu bate o serie de lovituri de pedeapsa. O rateaza pe prima si in final incheie cu un procentaj de reusite mai mare decat 75%.

a) Demonstrati ca la un anumit moment el a avut un procentaj de exact p=75% reusite.

b) Putem face aceasi afirmatie daca inlocuim in enunt p=75% cu p=70%?

Fie n prima loviturÄ? care face ca procentul reuÅ?itelor sÄ? treacÄ? de 75%. Avem p/n>3/4, adicÄ? 4p>3n. (1)
Ã?naintea acestei ultime lovituri nr de goluri marcate era de p-1 iar al loviturilor executate de n-1, deci procentajul era de (p-1)/(n-1)%.Din modul în care l-am ales pe n, rezultÄ? cÄ? (p-1)/(n-1)<sau=3/4, de unde 4p<sau=3n+1 Å?i Å£inând cont de (1) avem 4p=3n+1, sau (p-1)/(n-1)=3/4.
DacÄ? în loc de 75% am fi avut 70%, afirmaÅ£ia nu mai era adevÄ?ratÄ?, deoarece urmând acelaÅ?i raÅ£ionament de mai înainte, obÅ£inem 7n<10p<sau=7n+3.

[Citat] Fie n prima loviturÄ? care face ca procentul reuÅ?itelor sÄ? treacÄ? de 75%. Avem p/n>3/4, adicÄ? 4p>3n. (1) Ã?naintea acestei ultime lovituri nr de goluri marcate era de p-1 iar al loviturilor executate de n-1, deci procentajul era de (p-1)/(n-1)%.Din modul în care l-am ales pe n, rezultÄ? cÄ? (p-1)/(n-1)<sau=3/4, de unde 4p<sau=3n+1 Å?i Å£inând cont de (1) avem 4p=3n+1, sau (p-1)/(n-1)=3/4. DacÄ? în loc de 75% am fi avut 70%, afirmaÅ£ia nu mai era adevÄ?ratÄ?, deoarece urmând acelaÅ?i raÅ£ionament de mai înainte, obÅ£inem 7n<10p<sau=7n+3.

Solutie foarte buna!

Niste valori pentru care se "sare" peste 70% sunt de exemplu 2 reusite din 3, urmate de 3 reusite din 4.

Putem generaliza (solutia este aceasi!), inlocuind 75%=3/4 cu orice fractie de forma

.

Nota: Problema a fost data intr-o forma adaptata pietei educationale din SUA la concursul Putnam din 2004.