Determinati numerele naturale m si n astfel incat

Am luat n=0 Å?i am obÅ£inut m=2002. Pentru n=1 ecuaÅ£ia nu are soluÅ£ii naturale, iar pentru n=2 am obÅ£inut soluÅ£ia m=13. Apoi am observat comparând graficele funcÅ£iilor f(x)=a^x, g(x)=a^(x+1) Å?i h(x)=(a+1)^x, cÄ? expresia din membrul sâng al ecuaÅ£iei este crescÄ?toare, deci ecuaÅ£ia nu mai are alte soluÅ£ii.

sau

Folosind calculatorul Å?i observaÅ£ia cÄ? un anumit m nu pote fi soluÅ£ie decât dacÄ? este divizor al 2002 indiferent de n, se pot lua divizorii lui 2002 pe rând Å?i prin înlocuiri ne convingem de cele spuse mai sus.Dar asta nu mi se pare a fi o rezolvare.

[Citat] Am luat n=0 Å?i am obÅ£inut m=2002. Pentru n=1 ecuaÅ£ia nu are soluÅ£ii naturale, iar pentru n=2 am obÅ£inut soluÅ£ia m=13. Apoi am observat comparând graficele funcÅ£iilor f(x)=a^x, g(x)=a^(x+1) Å?i h(x)=(a+1)^x, cÄ? expresia din membrul sâng al ecuaÅ£iei este crescÄ?toare, deci ecuaÅ£ia nu mai are alte soluÅ£ii.

Observatia cu grafice de functii este corecta (si foarte utila cand tratam probleme practice), dar complet inutilizabila in conditii de exemplu de concurs de matematica, unde elevii nu au voie sa foloseasca asemenea metode.

Ar merita sa avem o discutie pe Forum asupra folosirii calculatorului la orele de matematica: ce teme ar fi intelese mai bine astfel, etc .

[Citat] Folosind calculatorul Å?i observaÅ£ia cÄ? un anumit m nu pote fi soluÅ£ie decât dacÄ? este divizor al 2002 indiferent de n, se pot lua divizorii lui 2002 pe rând Å?i prin înlocuiri ne convingem de cele spuse mai sus.Dar asta nu mi se pare a fi o rezolvare.

Ideea aceasta poate fi continuata pentru a obtine o rezolvare elementara (ce poate fi inteleasa de elevi de clasa VIII probabil) ce nu necesita calculatorul.

La clasa a VIII a aÅ? face cam aÅ?a:
Pentru

obţinem imediat

; pentru

obţinem ecuaţia

care nu are soluÅ£ii naturale (discriminantul ecuaÅ£iei nu este pÄ?trat perfect); iar pentru

se obţine ecuaţia

, care este echivalentÄ? cu

Å?i care, evident, nu are în mulÅ£imea numerelor naturale decât soluÅ£ia

.Ã?n ecuaÅ£ia datÄ?, dacÄ? trecem pe 2001 în membrul stâng Å?i ordonÄ?m membrul stâng dupÄ? puterile lui m (fÄ?rÄ? a face aceasta efectiv)obÅ£inem termenul liber 2002.De aici tragem concluzia cÄ? orice soluÅ£ie a ecuaÅ£iei (în m) dacÄ? este numÄ?r natural, trebuie sÄ? fie divizor al lui 2002. Dar numÄ?rul 2002 are ca divizori pe 1;2;7;11;13;etc... Se vede imediat cÄ?

nu este soluţie pentru nici un n,

nu poate fi soluţie deoarece

pentru orice

. Se verificÄ? prin calcul cÄ?

nu este soluÅ£ie pentru nici un n numÄ?r natural(pentru

obţinem

).AcelaÅ?i lucru se întâmplÄ? Å?i pentru

. Pentru valori ale lui

Å?i

se observÄ? imediat în urma înlocuirilor, cÄ?

, deci ecuaţia nu mai are alte soluţii naturale.

[Citat] La clasa a VIII a aÅ? face cam aÅ?a: Pentru obÅ£inem imediat ; pentru obÅ£inem ecuaÅ£ia care nu are soluÅ£ii naturale (discriminantul ecuaÅ£iei nu este pÄ?trat perfect); iar pentru se obÅ£ine ecuaÅ£ia , care este echivalentÄ? cu Å?i care, evident, nu are în mulÅ£imea numerelor naturale decât soluÅ£ia .Ã?n ecuaÅ£ia datÄ?, dacÄ? trecem pe 2001 în membrul stâng Å?i ordonÄ?m membrul stâng dupÄ? puterile lui m (fÄ?rÄ? a face aceasta efectiv)obÅ£inem termenul liber 2002.De aici tragem concluzia cÄ? orice soluÅ£ie a ecuaÅ£iei (în m) dacÄ? este numÄ?r natural, trebuie sÄ? fie divizor al lui 2002. Dar numÄ?rul 2002 are ca divizori pe 1;2;7;11;13;etc... Se vede imediat cÄ? nu este soluÅ£ie pentru nici un n, nu poate fi soluÅ£ie deoarece pentru orice . Se verificÄ? prin calcul cÄ? nu este soluÅ£ie pentru nici un n numÄ?r natural(pentru obÅ£inem ).AcelaÅ?i lucru se întâmplÄ? Å?i pentru . Pentru valori ale lui Å?i se observÄ? imediat în urma înlocuirilor, cÄ? , deci ecuaÅ£ia nu mai are alte soluÅ£ii naturale.

Sunt de acord cu afirmatiile de mai sus.

Daca vrem sa ne reducem la criterii de divizibilitate care sunt probabil mai bine intelese de elevii de gimnaziu decat inegalitati la care putem avea nevoie de inductie, ideile esentiale ar fi ca

- studiind divizibilitatea cu 3 se obtine ca n trebuie sa fie numar par

- scriind egalitatea sub forma

si folosind faptul ca pentru putere k impara,

rezulta ca m+1 trebuie sa fie divizor al lui 2002. O analiza de cazuri, arata ca singurul numar m pentru care m si m+1 sunt divizori ai lui 2002 este m=13.

- studiind divizibilitatea cu 8 se arata ca pentru n>1, ecuatia

nu poate avea solutii, altele decat n=2.

Edit Admin: corectura in final. S-a adaugat "altele decat n=2".

De acord cÄ? din divizibilitatea cu 3 se obÅ£ine n par, din divizibilitatea cu 8 Å?i eu obÅ£in acelaÅ?i rezultat, anume cÄ? ultima ecuaÅ£ie nu ar avea soluÅ£ie, dar aÅ?a cum am arÄ?tat mai sus Å?i se poate verifica uÅ?or,n=2 este soluÅ£ie pentru aceastÄ? ultimÄ? ecuaÅ£ie. Nu pricep unde e greÅ?eala.

[Citat] De acord cÄ? din divizibilitatea cu 3 se obÅ£ine n par, din divizibilitatea cu 8 Å?i eu obÅ£in acelaÅ?i rezultat, anume cÄ? ultima ecuaÅ£ie nu ar avea soluÅ£ie, dar aÅ?a cum am arÄ?tat mai sus Å?i se poate verifica uÅ?or,n=2 este soluÅ£ie pentru aceastÄ? ultimÄ? ecuaÅ£ie. Nu pricep unde e greÅ?eala.

Nu am afirmat ca ar fi vreo greseala in argumentul pe care-l prezentati. Am oferit doar o alternativa prin care ocolim inegalitatea

In toata generalitatea nu stiu daca aceasta inegalitate este adevarata, iar daca ne restrangem doar la valorile lui m divizori ai lui 2002, ar fi destul de multe valori pentru care sa demonstram separat cate o inegalitate.

[Citat] - studiind divizibilitatea cu 8 se arata ca pentru n>1, ecuatia nu poate avea solutii.

MÄ? refeream la faptul cÄ? aceastÄ? ecuaÅ£ie, admite soluÅ£ia

, iar din studiul divizibilitÄ?Å£ii cu 8(la care nu aÅ? fi apelat de unul singur!)reiese cÄ? ecuaÅ£ia nu are soluÅ£ie.

[Citat] [Citat] - studiind divizibilitatea cu 8 se arata ca pentru n>1, ecuatia nu poate avea solutii. MÄ? refeream la faptul cÄ? aceastÄ? ecuaÅ£ie, admite soluÅ£ia , iar din studiul divizibilitÄ?Å£ii cu 8(la care nu aÅ? fi apelat de unul singur!)reiese cÄ? ecuaÅ£ia nu are soluÅ£ie.

Acum am inteles. Greseala mea, am vrut sa scriu n>2. De abia acum am remarcat ca am scris n>1. Multumesc!