Consideram o multime finita de orase ale Europei, cu proprietatea ca distantele dintre ele sunt toate distincte. Orasul A este conectat la orasul B daca A este cel mai apropiat oras de B. Sa se arate ca nu exista nici un oras conectat la mai mult de 5 orase.

Nu cred cÄ? era necesar ca mulÅ£imea de oraÅ?e sÄ? fie finitÄ? (nu pentru cÄ? oricum este, ci pentru cÄ? problema are aceeaÅ?i concluzie Å?i pentru o mulÅ£ime infinitÄ?).
Fie A un oraÅ? luat la întâmplare Å?i B oraÅ?ul conectat cu A pentru cÄ? e cel mai apropiat de A.Ã?n interiorul discului cu centrul în A Å?i de razÄ? AB nu mai e alt oraÅ? conectat cu A. Dintre celelalte oraÅ?e conectate cu A îl alegem pe cel mai apropiat de B. Fie acesta C. El trebuie sÄ? se gÄ?seascÄ? la distanÅ£a CB>AC Å?i evident AC>AB. Ã?n triunghiul ABC, unghiul A se opune celei mai mari laturi, deci el este mai mare de 60 de grade. Ã?n interiorul discurilor cu centrele în B Å?i C, de raze AB, respectiv AC, nu existÄ? alt oraÅ? conectat cu A, cÄ?ci este mai aproape de B sau C.Repet raÅ£ionamentul cu alt oraÅ? D, conectat cu A, care este cel mai apropiat de C, Å?i rezultÄ? cÄ? mÄ?sura unghiului CAD este mai mare de 60 de grade,etc... DupÄ? al cincilea oraÅ?, raÅ£ionamentul nu mai poate continua, cÄ?ci în triunghiul format de el cu A Å?i B unghiul din A nu mai poate fi mai mare de 60 de grade.(Ar fi în jurul punctului A mai mult de 360 de grade.)Un alt argument îl constituie faptul cÄ? discurile de care vorbeam mai sus, Å?i celelalte ce rezultÄ? din raÅ£ionament au acoperit discul cu centrul în A de razÄ? AB, deci orice alt punct din plan este mai apropiat de unul din cele 5 puncte (orÅ?e) decât de A.
O redactare a rezolvÄ?rii mai simplÄ? ar fi dacÄ? aÅ? înlocui oraÅ?ele cu puncte, Å?i poziÅ£iile lor cu vectori legaÅ£i cu originea în A. Dar în cazul acesta ar mai trebui Å?i un desen, Å?i...

[Citat] Nu cred cÄ? era necesar ca mulÅ£imea de oraÅ?e sÄ? fie finitÄ? (nu pentru cÄ? oricum este, ci pentru cÄ? problema are aceeaÅ?i concluzie Å?i pentru o mulÅ£ime infinitÄ?). Fie A un oraÅ? luat la întâmplare Å?i B oraÅ?ul conectat cu A pentru cÄ? e cel mai apropiat de A.Ã?n interiorul discului cu centrul în A Å?i de razÄ? AB nu mai e alt oraÅ? conectat cu A. Dintre celelalte oraÅ?e conectate cu A îl alegem pe cel mai apropiat de B. Fie acesta C. El trebuie sÄ? se gÄ?seascÄ? la distanÅ£a CB>AC Å?i evident AC>AB. Ã?n triunghiul ABC, unghiul A se opune celei mai mari laturi, deci el este mai mare de 60 de grade. Ã?n interiorul discurilor cu centrele în B Å?i C, de raze AB, respectiv AC, nu existÄ? alt oraÅ? conectat cu A, cÄ?ci este mai aproape de B sau C.Repet raÅ£ionamentul cu alt oraÅ? D, conectat cu A, care este cel mai apropiat de C, Å?i rezultÄ? cÄ? mÄ?sura unghiului CAD este mai mare de 60 de grade,etc... DupÄ? al cincilea oraÅ?, raÅ£ionamentul nu mai poate continua, cÄ?ci în triunghiul format de el cu A Å?i B unghiul din A nu mai poate fi mai mare de 60 de grade.(Ar fi în jurul punctului A mai mult de 360 de grade.)Un alt argument îl constituie faptul cÄ? discurile de care vorbeam mai sus, Å?i celelalte ce rezultÄ? din raÅ£ionament au acoperit discul cu centrul în A de razÄ? AB, deci orice alt punct din plan este mai apropiat de unul din cele 5 puncte (orÅ?e) decât de A. O redactare a rezolvÄ?rii mai simplÄ? ar fi dacÄ? aÅ? înlocui oraÅ?ele cu puncte, Å?i poziÅ£iile lor cu vectori legaÅ£i cu originea în A. Dar în cazul acesta ar mai trebui Å?i un desen, Å?i...

Corect!

frumoasa solutie!