Pe un dodecaedru regulat se lipesc, pe fiecare faÅ£Ä?, câte o piramidÄ? regulatÄ? cu muchia lateralÄ? egalÄ? cu latura bazei Å?i egale amândouÄ? cu latura dodecaedrului. Se obÅ£ine astfel un poliedru pe care în aceastÄ? problemÄ? îl vom numi 60-edru. SÄ? ne mai imaginÄ?m cÄ? acest corp este confecÅ£ionat din caÅ?caval. Pe acest caÅ?caval au ajuns niÅ?te furnici trimise în cercetare de cÄ?tre conducerea muÅ?uroiului de furnici â??HÄ?rnicuÅ£eleâ?. Culmea este cÄ? â?? din întâmplare sau nu â?? numÄ?rul â??cercetaÅ?ilorâ? este egal cu numÄ?rul vârfurilor 60-edrului nostru din caÅ?caval, Å?i fiecare cercetaÅ? s-a aÅ?ezat în câte un vârf al 60-edrului. Dar, ghinion, bucÄ?tarul ce avea în gestiune aceastÄ? minunÄ?Å£ie de caÅ?caval a venit sÄ? ia o parte din el pentru a o pune la masÄ?. El face o singurÄ? tÄ?ieturÄ? perfect planÄ? (era profesionist!) Å?i ia bucata necesarÄ? consumului. Admiţând cÄ? un â??cercetaÅ?â? moare numai dacÄ? tÄ?ietura trece prin vârful 60-edrului în care stÄ? el, precizaÅ£i câţi â??cercetaÅ?iâ? sunt în total, Å?i câţi â??cercetaÅ?iâ? ar putea sÄ? moarÄ? â??la datorieâ?.
(Am vÄ?zut cÄ? problemele cu furnici nu vÄ? tenteazÄ?, dar chiar dacÄ? nu mÄ? aÅ?tept la un rÄ?spuns, sper totuÅ?i cÄ? v-am fÄ?cut sÄ? zâmbiÅ£i! Cred cÄ? era mai bine sÄ?-i pun titlul "ZâmbiÅ£i vÄ? rog!")

RÄ?spunsul la prima întrebare este: 32.(Deoarece 60-edrul are 32 vârfuri:douÄ? zeci de vârfuri ale dodecaedrului, care rÄ?mân în continuare vârfuri ale 60-edrului, plus cele 12 vârfuri ale piramidelor).

Pentru a doua întrebare, rÄ?spunsul nu mai e aÅ?a simplu, Å?i se bazeazÄ? pe unele observaÅ£ii fÄ?cute în urma calculelor, Å?i anume:
Notând cu a mÄ?sura unghiului diedru dintre douÄ? feÅ£e ale dodecaedrului regulat ce au o laturÄ? comunÄ?, iar cu b mÄ?sura unghiului diedru format de o faÅ£Ä? a unei piramide cu baza sa, dupÄ? o mulÅ£ime de calcule am ajuns la: sin(a+b)>0 Å?i cos(a+b)<0, de unde concluzia cÄ? 90grade<a+b<180grade.
De aici observÄ?m cÄ? un plan ce conÅ£ine o faÅ£Ä? a dodecaedrului regulat lasÄ? toate cele 5 piramide ce au câte o laturÄ? comunÄ? cu acea faÅ£Ä?, de aceeaÅ?i parte a planului.(De fapt ne este utilÄ? observaÅ£ia cÄ? vârfurile acestor piramide sunt de aceeaÅ?i parte a planului.)
Am mai obÅ£inut sin(a+2b)<0, de unde 180grade< a+2b, deci segmentul ce uneÅ?te vârfurile a douÄ? piramide alÄ?turate nu intersecteazÄ? muchia lor comunÄ?(cele douÄ? segmente nu sunt coplanare!), ci este deasupra acesteia.
Ã?n final am ajuns la concluzia urmÄ?toare:
- Se poate sÄ? nu moarÄ? nici un â??cercetaÅ?â? (Ã?n cazul în care tÄ?ietura secÅ£ioneazÄ? numai o piramidÄ? paralel cu baza ei, dar nu numai în acest caz!)
- Se poate sÄ? moarÄ? exact un â??cercetaÅ?â? (Când planul de secÅ£iune trece printrun vârf al unei piramide Å?i secÅ£ioneazÄ? o piramidÄ? alÄ?turatÄ?, planul de secÅ£iune fiind paralel cu muchia comunÄ? celor douÄ? piramide, Å?i nu doar în acest caz!)
- Se poate sÄ? moarÄ? doi â??cercetaÅ?iâ?.( Considerând trei piramide ce au un vârf comun Å?i planul ce trece prin vârfurile a douÄ? dintre ele Å?i o secÅ£ioneazÄ? pe a treia suficient de aproape de vârf; Å?i nu doar în acest caz!)
- Se poate sÄ? moarÄ? trei â??cercetaÅ?iâ?( DacÄ? secÅ£iunea trece printrun vârf al unei piramide Å?i douÄ? vârfuri ale bazei unei piramide alÄ?turate ei, afarÄ? de cel opus ei Å?i cele comune cu ea. Bine înÅ£eles cÄ? nu doar în cazul acesta mor trei â??cercetaÅ?iâ?)
- Se poate sÄ? moarÄ? patru â??cercetaÅ?iâ? (ConsiderÄ?m trei dintre piramidele care au un vârf comun, sÄ?-l numim X, Å?i planul ce conÅ£ine vârfurile a douÄ? dintre ele Å?i douÄ? din vârfurile bazei celeilalte, care sunt comune cu primele douÄ? piramide, dar afarÄ? de X. Nici acesta nu e singurul caz!)
- Se poate sÄ? moarÄ? cinci â??cercetaÅ?iâ? ( De exemplu dacÄ? secÅ£iunea conÅ£ine vârfurile piramidelor care au câte o muchie comunÄ? cu o anumitÄ? piramidÄ? fixatÄ?. Evident sunt mai multe cazuri!)
- Se poate sÄ? moarÄ? Å?ase â??cercetaÅ?iâ? (Consider o piramidÄ? Å?i planul de secÅ£iune ce trece prin vârful ei, Å?i o muchie a 60-edrului care are un punct comun cu ea. Iar nu avem de-a face cu un caz unic!)
O altÄ? nenorocire mai mare nu se poate abate asupra bieÅ£ilor â??cercetaÅ?iâ?.

Cred cÄ? pentru unele cazuri nu am ales cea mai elegantÄ? exprimare sau cel mai clar exemplu, dar sper cÄ? mÄ? poate înÅ£elege cine are rÄ?bdarea sÄ? urmÄ?reascÄ?. Cât priveÅ?te calculele, cred cÄ? e mai bine sÄ? mÄ? credeÅ£i decât sÄ? pierdeÅ£i cât timp am pierdut eu pentru ele. Oricum, m-am sÄ?turat de caÅ?caval cu furnici!! Sper cÄ? serialul s-a terminat!

Corect. Sunt de acord ca e cam greu de exprimat in scris variantele respective, dar greutatea de fapt consta in calculele anterioare care ne asigurÄ? cÄ?, de exemplu vârful unei piramide nu este în planul lunei feÅ£e a dodecaedrului cu care are o laturÄ? comunÄ?. Ã?n acest caz ar fi putut "cade la datorie" chiar Å?i 10 furnici! Ce tragedie ar fi fost!
MÄ? gândeam sÄ? mai scriu câteva episoade cu furnicile, dar nu vreau sÄ? mai deranjez.