Sa se determine multimea numerelor naturale ce pot fi scrise ca suma a doua sau mai multe numere naturale consecutive.

Din

se obtine multimea

.

[Citat] Din se obtine multimea .

Raspunsul este, evident 100% corect. Am insa impresia ca Pitagora a dorit o descriere mai precisa.

Intr-adevar ma gandeam la o descriere mai simpla a multimii A.

N \ {2^k| k din N}

[Citat] N \ {2^k| k din N}

Corect. Pentru completitudine, ar fi interesant de postat si demonstratia (sau macar o schita).

[Citat] Corect. Pentru completitudine, ar fi interesant de postat si demonstratia (sau macar o schita).

Cu cea mai mare placere

Metoda I :

cazul 1)
Aratam ca orice putere a lui 2 nu poate fi scrisa ca suma de numere naturale consecutive.
Pentru aceasta putem folosi formula sumei nr. naturale consecutive de mai sus.
Presupunem prin absurd ca N=2^p, p natural, poate fi scris ca suma de nr. naturale consecutive.
Evident unul dintre numerele 2n+k sau k+1 este impar oricare ar fi n,k nr. naturale. Rezulta ca in descompunerea lui N=2^p ar trebui sa avem un numar impar ceea ce este fals.

cazul 2)
Aratam ca orice numar natural N care nu este putere a lui 2 se poate scrie ca suma de numere naturale consecutive.
In descompunerea lui N exista cel putin un numar impar i. Atunci N se poate scrie :

N= (N/i - (i-1)/2)+ (N/i - (i-1)/2 +1)+...+N/i+...+(N/i + (i-1)/2)

(care este evident o suma de i numere intregi consecutive cu termenul din mijloc N/i)
Pentru ca pe noi ne intereseaza scrierea lui N ca suma de numere naturale consecutive ramane ca in cazul in care m=(N/i - (i-1)/2) < 0 sa il rescriem pe N astfel :
N= (|m|+1) + (|m|+2) + ... + (N/i +(i-1)/2)

Obs. Aceasta demonstratie pe langa demonstrarea enuntului initial ne da si forma concreta a descompunerii lui N in suma de nr. naturale consecutive.

--------------------------------------
Propun spre rezolvare urmatoarea problema care ne va ajuta in demonstrarea problemei initiale prin a doua metoda :

Problema. Daca S reprezinta o suma de numere naturale consecutive sa se arate ca si 2S este o suma de numere naturale consecutive.
--------------------------------------

Metoda II:

Vom utiliza aceleasi 2 cazuri ca si la met. I

cazul 1) - identic cu cel de la met.I

cazul 2):

2.1) Daca N este impar atunci N se poate scrie: N = (N-1)/2 + (N+1)/2

2.2) Daca N este par atunci avem cazurile:

2.2.1) Daca N/2 este impar atunci N se poate scrie:

N = (N-6)/4 + (N-2)/4 + (N+2)/4 + (N+6)/4

2.2.2) Daca N/2 este par atunci N poate fi scris ca :

N = (2^p) * i ,p natural si i impar (p si i strict mai mari decat 1)
Adica N = 2*(2*(2..*(2i)..)
Conform 2.1) i se poate scrie ca suma de numere naturale consecutive
si aplicand demonstratia problemei propusa de mine atunci si 2i poate fi scris ca suma de numere naturale consecutive. Aplicand inca de p-1 ori acest rationament rezulta ca si N poate fi scris ca suma de numere naturale consecutive

Obs.
1)Bineinteles ca met.I poate fi aplicata in cazul particular 2.2.2) si deci implicit si in cazul problemei propuse de mine. Pentru aceasta ar fi de preferat sa gasim o alta metoda.

2) La 2.2.2) putem arata ca 2i poate fi scris ca suma de numere naturale consecutive si fara sa utilizam problema propusa de mine ci doar 2.2.1) si de aici sa folosim alt rationament (fara problema). Ar fi interesant daca se poate finaliza demonstratia si altfel.

O sa finalizez tot eu si ultima parte a demonstratiei prin metoda a II-a

2.2.2) N=(2^p)*i . Pe de alta parte daca N poate fi scris ca suma de numere naturale consecutive atunci N=((2n+k)(k+1))/2

Asa cum am vazut (2n+k) si (k+1) au paritati diferite si deci se impun cazurile:

2.2.2.1) 2n+k este impar, situatie in care avem: 2n+k=i si (k+1)/2=2^p =>
k=(2^p)-1 si n = (i+1)/2 - 2^p

2.2.2.2) 2n+k este par, situatie in care avem: (2n+k)/2=2^p si k+1=i =>
k=i-1 si n = 2^p - (i-1)/2

Cu k si n determinati in functie de p si i il putem scrie pe
N = n + (n+1) +...+ (n+k) ca suma de numere naturale consecutive

Obs. Asa cum am finalizat demonstratia acum putem demonstra imediat Problema folosind aceleasi rationamente : deoarece S se scrie ca o suma de numere consecutive rezulta folosind 2.1) ca S nu este o putere a lui 2. Atunci 2S se poate scrie ca o suma de numere consecutive utilizand demonstratia de la 2.2) (cu toate subpunctele aferente) si considerand ca N=2S