Sa se determine numerele

stiind ca

Generalizati.

Stiind ca suma primelor

numere naturale impare este egala cu

, egalitatea devine

. Tinand cont ca sunt numere pozitive, egalitatea este echivalenta cu

sau

, de unde rezulta

.
Deci numerele sunt de forma

, cu

.

Pornind de la egalitatea 1+3+5+...+(2n-1)=n^2, deducem ca numarul abc =2n-1, iar cba=n.(Scuze ca am pus bara jos, dar nu am timp sa apelez la LATEX) De aici, 100a+10b+c=2n-1 si 100c+10b+a=n. Scazand ecuatiile obtinem 99(a-c)=n-1. Din relatiile de mai sus obtinem conditiile: a si c nenule si, a=2c sau a=2c+1, precum si c impar. Din verificari reiese ca singura solutie este pentru n=397, adica a=7, b=9, c=3.

Am uitat sa tin cont ca

este impar si am aplicat formula sumei aiurea.Scuze!

[Citat] Pornind de la egalitatea 1+3+5+...+(2n-1)=n^2, deducem ca numarul abc =2n-1, iar cba=n.(Scuze ca am pus bara jos, dar nu am timp sa apelez la LATEX) De aici, 100a+10b+c=2n-1 si 100c+10b+a=n. Scazand ecuatiile obtinem 99(a-c)=n-1. Din relatiile de mai sus obtinem conditiile: a si c nenule si, a=2c sau a=2c-1, precum si c impar. Din verificari reiese ca singura solutie este pentru n=397, adica a=7, b=9, c=3.

CORECT! Dar generalizarea?

Iata si generalizarea:
Sa se determine numerele naturale scrise in baza 10 pentru care:
1+3+5+...+xa_1a_2...a_ky = (ya_1a_2...a_kx)^2
(bara trebuie scrisa mai sus dar nu ma pricep)
Fie A=xa_1a_2...a_ky si
B=ya_1a_2...a_kx
Pornind de la egalitatea cunoscuta deducem ca A=2n-1 si B=n (*). Scriind pe A si B dezvoltat in aceste ultime egalitati, si scazandu-le, obtinem ca 99...9(x-y)=n-1.(**) Aici cifra 9 este de k+1 ori.
Se observa ca: y este impar, x=2y sau x=2y+1 si din obsevatia asupra ultimei cifre a lui A si B deducem ca y=2x-11.(y=2x-1 nu se poate!)
Din sistemul format de x=2y cu y=2x-11 nu obtinem solutii naturale, iar din sistemul format de ecuatiile x=2y+1 si y=2x-11 obtinem x=7 si y=3.
Acum din (**) obtinem n=399...97(cifra 9 este de k+1 ori), iar din (*) obtinem si A=799...93 (cu cifra 9 de k+1 ori).Deci a_1=a_2=a_3=...=a_k=9.

[Citat] Iata si generalizarea: Sa se determine numerele naturale scrise in baza 10 pentru care: 1+3+5+...+xa_1a_2...a_ky = (ya_1a_2...a_kx)^2 (bara trebuie scrisa mai sus dar nu ma pricep) Fie A=xa_1a_2...a_ky si B=ya_1a_2...a_kx Pornind de la egalitatea cunoscuta deducem ca A=2n-1 si B=n (*). Scriind pe A si B dezvoltat in aceste ultime egalitati, si scazandu-le, obtinem ca 99...9(x-y)=n-1.(**) Aici cifra 9 este de k+1 ori. Se observa ca: y este impar, x=2y sau x=2y+1 si din obsevatia asupra ultimei cifre a lui A si B deducem ca y=2x-11.(y=2x-1 nu se poate!) Din sistemul format de x=2y cu y=2x-11 nu obtinem solutii naturale, iar din sistemul format de ecuatiile x=2y+1 si y=2x-11 obtinem x=7 si y=3. Acum din (**) obtinem n=399...97(cifra 9 este de k+1 ori), iar din (*) obtinem si A=799...93 (cu cifra 9 de k+1 ori).Deci a_1=a_2=a_3=...=a_k=9.

Excelent! V-as ruga daca vreti sa va uitati si pe problema cu greseala.Astept solutia dvs!