Numarul

are 2023 de cifre. Este oare cub perfect?

Sa consideram numarul A de 2023 de cifre

A = 20220000000000000000000000000 . . . 00000000000000000000000000001

modulo N = 999999. Desigur, 1000000 este 1 modulo N. În cuvinte mai putin matematice, lucrând modulo N putem "taia din mijloc" un multiplu de sase de zerouri, numarul rezultat este congruent cu cel initial, A, modulo N.

Obtinem asadar modulo N:

A = 2022000 + 1 = 22002 + 1 = 22003.

Ramâne sa alegem acum si mai particular numarul

d

ca fiind unul din divizorii 7, 13, 37 lui N si sa lucram modulo d mai departe. De exemplu, pentru d = 7 avem modulo sapte (cu echivalente scrise drept egalitati):

A = 22003 = 2

dar 2 nu este rest cubic modulo sapte. Anume resturile de cuburi modulo sapte sunt:

0³ = 0 modulo sapte
1³ = 1 modulo sapte
2³ = 8 = 1 modulo sapte
3³ = 27 = 6 modulo sapte
4³ = (-3)³= -6 = 1 modulo sapte
5³ = (-2)³ = -1 = 6 modulo sapte
6³ = (-1)³ = -1 = 6 modulo sapte

Acel 2 nu este în lista.

Nota: Cel mai mic numar prim divizor al numarului A este 7759, (urmat imediat umar la umar de 204857 si 226231...) iar o posibilitate de a vedea ca A nu este nici un fel de putere (de grad > 1) este observatia ca 7759² nu divide A.

Eu la nivel de clasa a 8-a am gandit asa :

si

,

deoarece

deci

, adica

iar

,
prin urmare nu e cub perfect...