Un patrat perfect are ultimele patru cifre egale .Care sunt?

Fie N numarul al carui patrat are ultimele 4 cifre egale. Voi arata ca aceste cifre sunt 0. In primul rand

. Patratul unui numar de doua cifre are cel mult 4 cifre si acestea nu pot fi toate egale.
Atunci

si

. Ultimele doua cifre vor fi ultimele doua cifre ale lui

. Daca n este o cifra nenula, atunci patratul lui n este format din doua cifre diferite. Consideram cazul cand n este format din doua cifre, ultima cifra fiind nenula. Exista trei numere ale caror patrate au ultimele doua cifre egale: 12, 38 si 62.
Daca

atunci

. Notam cu

ultima cifra a lui m. Ar trebui ca

ceea ce nu se poate.
Daca

atunci

. Ar trebui ca

. Avem urmatoarele cazuri:

rezulta

, deci

si ar trebui ca

ceea ce nu se poate.

rezulta

, deci

si ar trebui ca

ceea ce nu se poate.
Daca

atunci

si ar trebui ca

ceea ce nu se poate.
Atunci ultima cifra a lui n trebuie sa fie 0, deci ultimele patru cifre ale lui

sunt 0.

Probabil ca exista o solutie mai simpla.

reddog a omis faptul ca

. Iata o alta solutie:

In primul rand, ultima cifra a unui patrat perfect este in multimea:

Vom elimina pe rand toate cifrele nenule. Fie

un numar ce se termina cu

unde

este una din cifrele de mai sus.

• Cazul
  
  . Atunci
  
  deci nu poate fi patrat perfect
  
• Cazul
  
  . Atunci
  
  se divide cu 5 dar nu se divide cu 25, deci nu poate fi patrat perfect
  
• Cazul
  
  . Atunci
  
  se divide cu 2 dar nu se divide cu 4
  
• Cazul
  
  . Daca prin absurd
  
  ar fi patrat perfect, atunci, deoarece se divide cu 4, si numarul
  
  ar fi patrat perfect. Pe de alta parte este usor de vazut ca
  
  , contradictie !
  

Asadar raspunsul la intrebare este

. Mentionam ca exista patrate perfecte ce se termina cu cifrele 1444, 3444, 5444, 7444 sau 9444 !

[Citat] reddog a omis faptul ca . Iata o alta solutie: In primul rand, ultima cifra a unui patrat perfect este in multimea: Vom elimina pe rand toate cifrele nenule. Fie un numar ce se termina cu unde este una din cifrele de mai sus. Cazul . Atunci deci nu poate fi patrat perfect Cazul . Atunci se divide cu 5 dar nu se divide cu 25, deci nu poate fi patrat perfect Cazul . Atunci se divide cu 2 dar nu se divide cu 4 Cazul . Daca prin absurd ar fi patrat perfect, atunci, deoarece se divide cu 4, si numarul ar fi patrat perfect. Pe de alta parte este usor de vazut ca , contradictie ! Asadar raspunsul la intrebare este . Mentionam ca exista patrate perfecte ce se termina cu cifrele 1444, 3444, 5444, 7444 sau 9444 !

Felicitari!

Patratele perfecte pentru care ultimele patru cifre sunt reprezentate de 1444, 3444, 5444, 7444 sau 9444:

Intre 1 si 1000000 avem: 38^2 = 1444; 462^2 = 213444; 538^2 = 289444
962^2 = 925444.

Peste: 1038^2 = 1077444; 2038^2= 4153444; ...; 1538^2 = 2365444;...;

3038^2=9229444; ...; 1462^=2137444; 1962^3849444; 2462^2= 6061444;

3462^2=11985444; 4462^2= 19909444; ...; 9462^2=89529444; 19462^2=378769444;...

Ultimele doua cifre ale radacinilor patrate sunt exprimate de 38 sau 62. Atat!


Natasa