Am postat deja problema gasirii lui x din

aici:
http://pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=12&ID=50920

Trimiterea la pagina originala de pe gogeometrty este urmatoarea:
http://gogeometry.com/school-college/1/p1025-triangle-double-triple-angle-online-math.htm


Sa facem o "mica schimbare" in enuntul problemei de mai sus,
desigur ca vom da de o alta constelatie.
Schimbam intre ele:

- unghiul rosu din C, cel de masura 3x
cu
- unghiul bej ( ? ) din B, cel de masura 2x.

Obtinem o noua problema:


Se da triunghiul ABC si un punct D in interiorul lui alese intr-o configuratie foarte speciala astfel incat sa avem:

Unghiul DAC are masura x .

Unghiul BAD are masura 2x .
Unghiul ACD are masura 2x .
Unghiul BCD are masura 2x .

Unghiul CBD are masura 3x .

Sa se gaseasca unghiul x in aceste conditii.


Indicatia negeometrica este "dezagregarea analitica a figurii".
Dar o solutie geometrica (sintetica) este de preferat...

Bonus:
Este triunghiul ABD isoscel?

[Citat] Se da triunghiul ABC si un punct D in interiorul lui alese intr-o configuratie foarte speciala astfel incat sa avem: Unghiul DAC are masura x . Unghiul BAD are masura 2x . Unghiul ACD are masura 2x . Unghiul BCD are masura 2x . Unghiul CBD are masura 3x . Sa se gaseasca unghiul x in aceste conditii. Bonus: Este triunghiul ABD isoscel?

Eu am notat triunghiul in sens trigonometric, deci in enuntul de sus am inlocuit intre ele literele B si C (Asa ati facut dv. in rezolvarea precedenta si este greu de inteles, deoarece acolo, pe figura, literele sunt ca in enunt)



Rezolvare>

Fie:

- E intersec?ia mediatoarei segmentului [BC] cu AB,

- F proiectia lui C pe AB,

- G intersec?ia dreptelor BD ?i AC.

E fiind pe mediatoarea segmentului [BC], deducem ca m?sura unghiului EDC = x.

Folosind unghiul exterior al triunghiului avem:

- m(FEC) = 8x, (1)

- m(ADC) = m(ADG) + m(GDC) = 3x +5x = 8x (2)

Din (1) ?i (2) deducem c? patrulaterul AEDC este inscriptibil ?i de aici

m(CAD) = m(FCD) = 2x ?i apoi m(FCE) = x.

Cu suma unghiurilor în triunghiul CFB, ob?inem 9x = 90 grade, deci x = 10 grade. (la fel ca în problema precedent?)

Da triunghiul ADC este isoscel, cu unghiurile 20, 80, 80.

Solutia este excelenta, multumesc mult pentru prezetare, dar mai ales pentru frumusetea constructiei!

Solutia pe care o aveam eu, era bazata pe baza constelatiei de aici:
http://www.geogebratube.org/student/m154760

(Data viitoare fac poza mai mare.)
(Postez solutia mai urata doar deoarece consider ca aceasta constelatie a celor doua triunghiuri 30-40-110 si 30-50-100 este deosebita. In interior se formeaza doua triunghiuri isoscele 20-80-80.)

Figura mi-e greu sa o inserez aici, rog a se compara cu notatiile de pe pagina geogebrei, cred ca acest mod de postare face poza mai accesibila. (La copiere si manipulare.)

Si acum solutia:

Ea se bazeaza pe problema initiala, anume pe faptul ca stim cum stau lucrurile cand unghiurile de 2x si 3x stau pe dos.
Introducem atunci doua puncte C' si D' care sa ne dea pe "acelasi desen" constelatia cunoscuta. Sunt mai multe moduri, eu il prefer pe urmatorul, mi-e mai usor sa argumentez:

Legat de rezolvarea lui minimarinica, am doua remarci:
1)mai simplu: EACD este inscriptibil deoarece m(EAD) = m(ECD) = x
2)nu e clar de ce din inscriptibilitatea lui EACD ar rezulta ca m(CAD) = m(FCD). Pute?i explica?