Problema 1 de la concursul Petru Morosan-Trident, 2013 clasa a 7 a.(care mi-a placut mult!)
Fie triunghiul isoscel ABC cu

.In interiorul triunghiului se considera punctul

astfel ca

Aflati

.

[Citat] Problema 1 de la concursul Petru Morosan-Trident, 2013 clasa a 7 a.(care mi-a placut mult!) Fie triunghiul isoscel ABC cu .In interiorul triunghiului se considera punctul astfel ca Aflati .

Da, este frumusica.

PS: Am vazut mai tarziu ca fata de enunt, in figura, am schimbat intre ele literele A si C. Asa ca, cred ca trebuie sa schitez demonstratia (folosind notatia din figura):

- Triunghiurile AGF si AGD sunt congruente (cazul ULU);
- Triunghiurile CFG si MDG sunt congruente (cazul ULU);
De aici obtinem GC=GM;
- Se obtine unghiul CMG de 30 grade;
- Unghiul cerut de 150 grade.

Am cautat simetria si nu mi s-a dat alta sansa decat prin urmatoarea constructie.

In primul rand folosim legea lui Nelu.
(Nelu este fratele meu. Folosind legea lui am reusit sa rezolv mereu probleme de acest tip. Uneori chiar mai repede ca Nelu.)
Legea lu' Nelu:
<Important este sa gasim triunghiul echilateral...>

Plecam asadar cu poligonul regulat cu 30 de varfuri.
Varfurile sunt pe cercul trigonometric puse de mine astfel:
P0 este la polul nord.
In sens trigonometric am desenat doar cateva alte varfuri.
P0,
apoi P5,
apoi P10 pe care l-am mai notat si cu B,
apoi P15, opusul lui P0 pe cerc, deci in sud,
apoi P20 pe care l-am mai notat si cu C,
apoi P25, opusul lui B pe cerc,
apoi P30 = P0.

Sa notam cu O centrul cercului.
Nu este rau sa ducem diametrele
P0 P15 ,
P10 P25 , notat si BB', B' = P25,
P20 P5 , notat si CC', C' = P5.

Ducem in afara triunghiului OBC (cu unghiurile 30°, 30°, 120°)
la unghiuri de 6° fata de OB, respectiv OC doua drepte care se intersecteaza intr-un punct pe care il notam intamplator cu A.

Triunghiul ABC este deci isoscel cu unghiurile din B si C de cate 36°.

Din B mai ducem si de partea cealalta a lui OB o dreapta la unghiul de 6°.
Aceasta intersecteaza diametrul CC' / raza CO intr-un punct M.

Ne uitam la figura si vedem ca punctele A,B,C,M sunt ca in problema.
Pai sa rezolvam atunci problema pe figura mai complicata pe care o avem in fatza.

Folosim urmatoarea simetrie fatza de diametrul CC':
Raza BO are drept simetric raza P0 O.
Diametrul BB' = B P25 are drept simetric diametrul P0 P15.
Coarda B P24 are drept simetric coarda P0 P16, care se taie pe axa de simetrie CC'. Deci in M.

Deci stim unde se afla M fatza de P0.

Ne uitam acum la o alta axa de simetrie, BB'.
Dreptele BA si BM sunt (ca drepte) simetrice fatza de BOB' din constructie.
Diametrele P0 P15 si CC' de asemenea.
Coardele C A P4 si P0 M P16 de asemenea.
Deci si intersectiile respective ale cate unui diametru cu cate o coarda:
- A este intersectia diametrului P0 P15 cu coarda C P4,
- M este intersectia diametrului C P5 cu coarda B P24.
Deci A si M sunt simetrice fatza de diametrul BB'.
Deci avem perpendicularitatea

AM _|_ BB'.

Deci AM este paralela cu latura P0 C a triunghiului echilateral, pe care trebuia oricum sa il construim de la inceput.

Deci AM0 este de masura 30°.
Deci AMC este de masura 150°.

P.S. Multzumesc de problema, mi-a salvat ziua ca noaptea de la serviciu.

Dupa ce am vazut constelatia de mai sus, desigur ca rezolvam si mai repede.

Fie ABC triunghiul dat.
Fie O intersectia celor doua drepte din B si C care formeaza cu BC unghiuri de 30°.
Deci M se afla pe CO.
(Vrem BA = BM si am terminat.)

Fie Nord punctul pe care il obtinem asa:
Intersectam AO, dreapta mediatoare a lui BC, cu dreapta din B care face
- cu BC un unghi de 60° adica
- cu BA un unghi de 24°.
Din simetrie triunghiul B C Nord este echilateral.

Deci | B Nord | = | BC | .
De aici deducem ca triunghiurile
B A Nord si
B M C
sunt congruente. (Latura tocmai gasita si unghiuri de 24° si 30°.)
Deci BA si BM sunt congruente.
Deci BO perpendiculara pe AM.
Gasim repede unghiul cerut. De exemplu: BO este oricum perpendiculara si pe Nord C. Deci <( AMO ) = <( Nord C O ) = 30°, deci ne raman pentru <( AMC ) celelalte 180° - 30° = 150° .

Acum ca stim sa demonstram, probabil ca cea mai prozaica demonstratie este:

BUN ! Si ca sa glumim, solutia mea se bazeaza pe "Legea lui Nelu":
Construim triunghiul echilateral CBE (A este interior triunghiului!). Mediatoarea lui CB contine punctele A si E, adica AE este si bisectorea unghiului E.Avem ca CM este bisectoarea unghiului BCE. Notam cu P, intersectia dintre CM si AE.Cum m(EBA )=m(MBC)=24 triunghiurile EBA si CBM sunt congruente ,deci AE=CM si cum EP=CP avem ca AP=PM.Prin urmare triunghiul APM este isoscel cu m(APM)=120, deci m(AMP)=30, deci m(AMC)=150.

[Citat] BUN ! Si ca sa glumim, solutia mea se bazeaza pe "Legea lui Nelu": Construim triunghiul echilateral CDE (A este interior triunghiului!). Mediatoarea lui CD contine punctele A si E, adica AE este si bisectorea unghiului E.Avem ca CM este bisectoarea unghiului DCE. Notam cu P, intersectia dintre CM si AE.Cum m(EDA )=m(MDC)=24 triunghiurile EDA si CDM sunt congruente ,deci AE=CM si cum EP=CP avem ca AP=PM.Prin urmare triunghiul APM este isoscel cu m(APM)=120, deci m(AMP)=30, deci m(AMC)=150.

Nu exista D in enunt. Acel D este de fapt B-ul din enunt, nu?

SCUZE! Am corectat! Aveam doua figuri alaturate si am citit mereu in loc de B ,litera de la figura alaturata, D.Exact ca-n filmele cu prosti...