Fie M mijlocul laturii BC în triunghiul ascu?itunghic ABC. Dac? AM>AB, ar?ta?i c? triunghiul poate fi t?iat în (cel mult) 3 p?r?i care pot fi rea?ezate pentru a forma un romb.

(olimpiad? Rusia 2010)

[Citat] Fie M mijlocul laturii BC în triunghiul ascu?itunghic ABC. Dac? AM>AB, ar?ta?i c? triunghiul poate fi t?iat în (cel mult) 3 p?r?i care pot fi rea?ezate pentru a forma un romb. (olimpiad? Rusia 2010)

Banuiesc ca taieturile trebuie sa fie drepte. Mi se se pare ca problema poate fi rezolvata astfel:
(1) un paralelogram se poate transforma in romb printr-o singura taietura.
(2) triunghiul original se transforma intr-un paralelogram taindu-l dupa o linie mijlocie (cea prin M, paralela la AB)

In cele mai multe cazuri aceste doua operatiuni rezulta din trei taieturi in triunghiul original, insa nu am un argument precis de ce e totdeauna posibil... sunt oare doua sau mai multe cazuri de tratat?

Fie N mijlocul lui AC si N' simetricul lui N fata de M. Decupam triunghiul MNC si formam paralelogramul ANN'B. Daca AN=AB, acesta este romb si am terminat.
Daca AN<AB, trasam cercul cu centrul in A si raza AB. Cum AN<AB<AM, cercul va intersecta segmentul MN intr-un punct interior D. Decupam triunghiul ADN si formam rombul ADD'B (vezi figura1).



Daca AN>AB, trasam cercul cu centrul in B si raza AN=BN'. Se arata usor ca BN>AN (considerand proiectiile pe AB ale punctelor N si C si faptul ca triunghiul e ascutitunghic), deci cercul taie AN intr-un punct interior S. Decupam triunghiul ABS pentru a forma rombul BSS'N' (vezi figura2).



Uploaded with ImageShack.us