ca avem un polinom p
de grad n diferit de 2 si 4,
reductibil peste ZZ pentru care
p(x)-1 se sparge in factori liniari diferiti.

Atunci exista p = gh o factorizare a lui p.

(Deoarece in ZZ singurele unitati (elemente inversabile) sunt +1 si -1,
si deoarece coeficientii principali ai lui g,h sunt unitati de produs 1,
putem sa ne aranjam repede cu coeficienti principali ambii egali cu 1.)

Notez cu A multimea celor n Anulari (radacini) ale lui p-1.
Calculam acum
p(x) = (gh)(x) - 1 = g(x)h(x) - 1
in cele n radacini ale lui p, dam de g(a)h(a) = 1 pentru orice a in A.

Deci pentru fiecare a in A avem g(a)=h(a) in {-1,1} .
In particular polinomul
g(x)-h(x) se anuleaza in cele n puncte din A si are grad mai mic decat cel al lui p, deci se anuleaza identic. Am obtinut:

p = gg .

In particular n, gradul lui p, este numar par, n=2m sa zicem, unde m>0 natural este gradul lui g. (Am exclus toate gradele n, numar impar.)

Mai stim ca
p-1 = gg-1 = (g+1)(g-1)

se sparge in n factori liniari distincti.
Deoarece descompunerea in factori este unica in inelul de polinoame ZZ[x], rezulta ca putem sa scriem

g(x) + 1 = produsul a m factori diferiti de forma (x-b) unde b se plimba in B
g(x) - 1 = produsul a m factori diferiti de forma (x-c) unde c se plimba in C

si reuniunea B U C = A este o partitie a lui A.
sa cautam acum o contradictie.

Calculam prima relatie de mai sus intr-un c din C. Dam de g(c)-1 = 0 si apoi de

2
= 0+2
= ( g(c)-1 ) +2
= g(c) + 1
= produsul a m factori intregi diferiti de forma (c-b) unde b se plimba in B.

Dar 2 are doar divizorii -1,1,2,-2 si daca vrem m>2 factori avem sansa doar cu cei trei factori -1,1,-2 al caror produs este 2 .
Deja excludem si cazurile unui n par > 6.
Ramane cazul cu n=6 (si m=3).

Scriu atunci explicit:
g(x) + 1 = (x-b)(x-b')(x-b'') si
g(x) - 1 = (x-c)(x-c')(x-c'')
ca sa fixez ideile.
Mai sus am vazut ca trebuie sa avem ceva de forma

{ c-b , c-b', c-b'' } = {-2,-1,1} si
{ c'-b , c'-b', c'-b'' } = {-2,-1,1} si ...

de unde daca facem suma si scadem dam de
3(c-c') = 0, deci c=c', in contraditie cu faptul ca radacinile lui g(x)-1 sunt diferite.

Am dat de o contradictie si am terminat.