Fie

un patrulater inscris in cercul de centru

si raza

, si fie

intersectia perpendicularelor din mijloacele a doua laturi ale sale pe laturile opuse. Sa se arate ca

si mijloacele laturilor

sunt conciclice si sa se determine raza cercului caruia apartin aceste puncte.

Inainte de toate o poza:
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=12&ID=33661
(Multumesc!)

[Citat]

(Am schimbat usor notatia ca sa pot sa tiparesc folosind literele din link.)
Avand in vedere lucrurile deja demonstrate in link, I-ul nu depinde de care doua perpendiculare din patru posibile ne legam pentru a-l construi.

Fie U mijlocul lui BD. Nu trebuie sa il construim pe figura si asa incarcata, singurul lucru de care avem nevoie este faptul ca masura unghiului format de liniile mijlocii UM si UF este aceeasi cu cea a unghiului C (din patrulaterul dat).

Vrem sa aratam ca patrulaterul IUMF este inscriptibil.
I si U se afla de aceeasi parte a dreptei MF.
Ajunge sa aratam ca unghiurile <(MIF) si <(MUF) sunt congruente (cu <(C)).

Ramane sa ne legam de unghiul opus la varf celui din I.
El este unul din unghiurile unui patrulater inscriptibil cu doua unghiuri de 90 de grade si cu inca un unghi in A. De aici rezulta

<(MIF) = <(LIP) = 180 - <(LAP) = <(C) = <(MUF) .

Deci I,U,M,F sunt conciclice.

r, raza cercului pe care se afla cele patru puncte este raza cercului circumscris trunghiului UMF, congruent cu triunghiul CMF, aflat in asemanare cu factor (1/2) fata de CDB, pentru care raza cercului circumscris este R.

Deci raza cautata este r=R/2 .

Modul in care ati exploatat linkul mi-a amintit de un bine cunoscut banc:


La un concurs de bucatari, in finala a ajuns un bucatar(de meserie) si un matematician. Au avut urmatoarea proba:

Pentru bucatar:
Indicati cu cat mai putine cuvinte cum prajiti niste oua in situatia urmatoare: Ouale sunt in dulap, uleiul este pe polita, tigaia este in cui, gazul este inchis.

Bucatarul raspunde : Pun tigaia pe aragaz, il aprind, iau uleiul de pe polita si torn in tigaie,iau ouale din dulap, le sparg in tigaie, astept sa se prajeasca suficient...

Pentru matematician aceeasi problema dar putin modificata; tigaia era pe aragaz.
Matematicianul raspunde: Pun tigaia in cui si suntem intr-un caz cunoscut.

Binenteles ca matematicianul a castigat concursul.


Si acum de ce i-am pus titlul 5 lei...
Cele patru cercuri (rosii in figura urmatoare)de diametre R ce trec prin O si cate un varf al patrulaterului ABCD, avand punctul O comun, rezulta ca (problema piesei de cinci lei a lui Titeica) pentru oricare trei dintre ele, exista un cerc (cele albastre din figura)de aceeasi raza care trece prin punctele lor comune(afara de O).



Uploaded with ImageShack.us