Lea joaca un joc contra unei bancii (unui cazinou).

Crupierul nu are sansa nici unei decizii, el arunca un zar de cel mult sase ori, de fiecare data cere parerea lui Lea, daca sa se opreasca sau daca sa mai arunce o data (in cazul in care nu a aruncat zarul deja de 6 ori).

Lea se poate decide dupa fiecare incercare sa se opreasca, primeste numarul de puncte pe care le arata zarul, inmultit cu 1000 de lei:

- daca zarul arata 1 la oprire, Lea primeste 1000 de lei,
- daca zarul arata 2 la oprire, Lea primeste 2000 de lei,
- daca zarul arata 3 la oprire, Lea primeste 3000 de lei,
- daca zarul arata 4 la oprire, Lea primeste 4000 de lei,
- daca zarul arata 5 la oprire, Lea primeste 5000 de lei,
- daca zarul arata 6 la oprire, Lea primeste 6000 de lei.

Pentru a juca acest joc, Lea trebuie desigur sa plateasca un pret P.

Care este pretul P "cinstit" (fair) pentru acest joc?

Care este strategia de urmat pentru a maximiza castigul mediu la care ne putem astepta?

Problema este una tipica de teoria asteptarii, ea se rezolva "folosind relatii", metoda cunoscuta in olimpiadele de teoria asteptarii din anii '80 sub numele de "intrare pe la spate".

[6]
Daca Lea nu ia nici o hotarare pana la pasul 6 (aruncarea a 6-a de zar), atunci ea primeste ce se arunca si ce vede, nu mai e nimic de ales, jocul este determinist.

[5]
Daca Lea nu ia nici o hotarare pana la pasul 5,
atunci ea are de luat o decizie simpla,

fie trece la pasul 6 unde se asteapta sa primeasca in medie
1000.( 1+2+3+4+5+6 ) / 6 = 3500 [lei]

fie ia ce vede.

Este clar ca strategia optima ii recomanda sa treaca la pasul urmator daca vede 1,2,3, respectiv sa ia ce vede daca a 5-a aruncare este 4,5 sau 6.

Media a ceea ce se poate castiga la acest al 5-lea pas este deci
( 3500 + 3500 + 3500 + 4000 + 5000 + 6000 ) / 6 [lei]
= 4250 [lei]

[4]
Este clar cum lucram mai departe. Lea vede rezultatul de la a 4-a aruncare.
Daca nu se opreste se asteapta in medie la 4250 [lei]. Deci se va opri daca vede 5,6, altfel va continua. Cu aceasta strategie (rationala/optima), Lea asigura pentru al 4-lea pas in medie (sau in speranta matematica)
( 4250 + 4250 + 4250 + 4250 + 5000 + 6000 ) / 6 [lei]
= 14000 / 3 [lei] ~ 4666.66... [lei]

(Da, stiu, inca nu am spart granita de 5000...
Cei ce au probleme practice de platit pana la ulitmul ban (= 1% dintr-un leu) nu au nici un fel de probleme aici, pentru ca nu se plateste niciodata 4666.666 ci fie o suma rotunda acum, fie o suma rotunda la pasul urmator...)

[3]
Lea vede rezultatul de la a 3-a aruncare.
Daca nu se opreste se asteapta in medie la cam 4666 [lei]. Deci se va opri daca vede 5,6, altfel va continua. Cu aceasta strategie (rationala/optima), Lea asigura pentru al 3-lea pas in medie (sau in speranta matematica)
( 4666.66... + 4666.66... + 4666.66... + 4666.66... + 5000 + 6000 ) / 6 [lei]
= 44500/9 [lei]
= 4944.44... [lei]

(Da, suntem aproape de granita de 5000...)

[2]
Lea vede rezultatul de la a 2-a aruncare.
Daca nu se opreste se asteapta in medie la cam 4944 [lei]. Deci se va opri daca vede 5,6, altfel va continua. Cu aceasta strategie (rationala/optima), Lea asigura pentru al 2-lea pas in medie (sau in speranta matematica)
( 4944.44... + 4944.44... + 4944.44... + 4944.44... + 5000 + 6000 ) / 6 [lei]
= 138500/27 [lei]
= 5129.629629... [lei]

(Da, am spart in sfarsit granita de 5000, pe cea de 6000 nu o putem sparge, deci este clar cum se intampla mai departe daca problema ar fi avut nu 6, ci mai multi pasi...)

[1]
La primul pas, Lea se opreste daca isi vede sasele, altfel continua.
Cu aceasta strategie, ea isi asigura media de castig
( 5129.629... + 5129.629... + 5129.629... + 5129.629... + 5129.629... + 6000 ) / 6 [lei]
= 427250/81 [lei]
= 5274.691358024691358024... [lei]

Acesta este pretul jocului, deci cam 5274 lei si 70 de bani.

Inserez doar un mic comentar...

M-am mirat oarecum de faptul ca nu a aparut nici un fel de reactie, nici un pas in directia unei solutii, nici o intrebare, nici un pronostic, nici o incercare pentru poate doar doua-trei aruncari. Probabil ca daca totul ar trebui sa intre intr-un cuvant, "indiferenta" ar fi o buna aproximare.

Nu am nimic impotriva, gustul meu in matematica a fost intotdeauna indepartat de curentul fluviului in care inot, dar este bine de stiut ca aceaste este matematica din care se poate asigura o paine buna si cinstita in domeniul economic sau financiar. Instrumentele financiare sunt diversificat si complexe. Daca metoda de intrare pe la spate in scrierea bilanului cum se face acum este inlocuita cu o metoda cinstita de a face acest lucru, prin fata si pe fata, atunci cunostintele de teoria probabilitatii sunt necesare.

Problema este de asemenea importanta ca problema de decizie (rationala).
Intelegand mai multe astfel de probleme, elevii sunt mai bine pregatiti pentru viata. (Decat -sa zicem- din intelegerea metodei de integrare prin parti.)


Doresc pe aceasta cale tuturor celor ce trec pe aici
toate cele bune in anul ce va sa inceapa in cateva clipe,
sanatate si putere de munca!