S? se determine un num?r natural cu nou? cifre distincte,care s? fie divizibil cu 11.

Cu un computer am cautat (in mod nebrutal...) numere ce satisfac cele de mai sus fara a avea cifra 0 in ele.
Intre cele 126 de moduri de a alege pozitiile b,d,f,h din
---------
abcdefghi
computerul le-a dat pe urmatorarele drept bune,
testul fiind faptul ca
(a+c+f+g+i) - (b+d+f+h)
=
(a+b+c+d+e+f+g+h+i) - 2(b+d+f+h)
=
(1+2+3+4+5+6+7+8+9) - 2(b+d+f+h)
se divide cu 11.

sage: S = sum( [ 1..9] )
sage: S
45
sage: C = Combinations( [1..9] , 4 )
sage: C.cardinality()
126
sage: for p in C:^J if ( S - 2*sum(p) ) % 11 == 0 :^J print p
....:
[1, 2, 5, 9]
[1, 2, 6, 8]
[1, 3, 4, 9]
[1, 3, 5, 8]
[1, 3, 6, 7]
[1, 4, 5, 7]
[2, 3, 4, 8]
[2, 3, 5, 7]
[2, 4, 5, 6]
[4, 7, 8, 9]
[5, 6, 8, 9]

De exemplu,
plasam 1,2,5,9 pe pozitiile b,d,f,h,
plasam restul de cifre nenule, 3,4,6,7,8 pe restul pozitiilor a,c,e,g,i,
(in ce ordine vrem, dau eu le iau ca mai sus ordonate),
dam de numarul
314265798 .

Desigur ca puteam sa incerc si tentativa bruta, oprindu-ma la primul numar gasit ce satisface:

O noua problema de programare:
Exista
- un patrat perfect
- cu 9 cifre diferite (cand e scris in baza zece)
- divizibil cu 11
?

Un exemplu...
Daca folosim cifrele de la 1 la 9 putem gandi si asa: criteriul de diviz.cu 11 zice asa: un numar se divide cu 11 daca diferenta dintre suma cifrelor de rang par si suma cifrelor de rang impar este un numar divizibil cu 11. Problema se reduce la urmatoarea : se pot aseza 5 semne +si 4 semne - intre cifrele 1,2,....,9 astfel ca rezultatul sa fie multiplu de 11? Cum de la 1 la 9 avem 5 numere impare rezultatul nu poate fi numar par ,deci sa fie 11.Daca notez suma cu a si diferenta cu b avem a+b=45 si a-b=11,de unde a=28,adica din sirul 1,2,....,9 sa aleg 5 numere care au suma 28.Avem 9+8+7+3+1=28,sau 9+8+6+4+1=28 sau 9+8+6++3+2=28...si gasim spre exemplu 123475869 divizibil cu 11...

[Citat] S? se determine un num?r natural cu nou? cifre distincte,care s? fie divizibil cu 11.

Reformulare :
S? se determine toate numerele naturale cu noua cifre distincte, care s? fie divizibile cu 11. Câte p?trate perfecte exist? printre aceste numere ?
(E o problema pentru computer...)



Sau, mai conving?tor (pentru computer !):

S? se determine toate numerele naturale cu n cifre distincte,
care s? fie divizibile cu d (d = natural, nenul). Câte p?trate perfecte exist? printre aceste numere?