Sa consideram o plasare a numerelor 0,1,...9, fiecare de cate zece ori in celulele unui tablou cu zece linii si zece coloane.
Sa luam una din cifre, C.
Atunci C apare pe unele linii si pe unele coloane.
Ca sa mai scurtam din limbaj, numim o dâra fie o linie, fie o coloana.
(Sau si o linie, si o coloana.)
(In Ardeal i se poate spune fara probleme "dâra", daca suna rau altundeva, se poate lua cuvantul "rand" la rand. Pluralul e mai lung...)
Numim o astfel de dâra
critica pentru C, daca C apare pe ea (cel putin o data), dar de cel mult 3 ori. Câte dâre critice avem pentru C (cel putin)?
Pentru a ne dumiri mai bine, facem urmatorul joc, ce nu schimba numarul de plasari pe dâre:
Permutam liniile intre ele astfel incat liniile cu cele mai multe C-uri sa urce cat mai sus.
Apoi in noua plasare facem acelasi joc cu coloanele, incat coloanele cu cat mai multe C-uri sa intre cat mai in stanga.
Acum ne uitam doar la cele 10 C-uri stranse in coltul din stanga sus.
Ele pot sta asa:
CCCC
CCC
CCC
Sau asa:
CCCC
CCCC
CC
Sau asa:
CCCCC
CCCCC
Sau asa:
CCCCC
CCCC
C
... sau in "multe" alte moduri.
... sau transpus.
Lista...
Putem folosi un program mic in sage pentru a da de toate partitiile lui 10. Mai sus, sunt patru biscuiti ce corespund partitiilor:
10 = 4+3+3 (cu biscuitele transpus 10 = 3+3+3+1)
10 = 4+4+2 (cu biscuitele transpus 10 = 3+3+2+2)
10 = 5+5 (cu biscuitele transpus 10 = 2+2+2+2+2)
10 = 5+4+1 (cu biscuitele transpus 10 = 3+2+2+2+1).
In total exista 42 de partitii:
sage: P = Partitions(10)
sage: P.cardinality()
42
Lista lor este data in sage de:
sage: P.list()
[[10], [9, 1], [8, 2], [8, 1, 1], [7, 3], [7, 2, 1], [7, 1, 1, 1], ...
si asa mai departe, am taiat linia lunga undeva. Daca tot putem scrie cod, aici este reprezentarea mai umana:
sage: for partitie in P.list(): print '+'.join( [ str(i) for i in partitie ] )
....:
10
9+1
8+2
8+1+1
7+3
7+2+1
7+1+1+1
6+4
6+3+1
6+2+2
6+2+1+1
6+1+1+1+1
5+5
5+4+1
5+3+2
5+3+1+1
5+2+2+1
5+2+1+1+1
5+1+1+1+1+1
4+4+2
4+4+1+1
4+3+3
4+3+2+1
4+3+1+1+1
4+2+2+2
4+2+2+1+1
4+2+1+1+1+1
4+1+1+1+1+1+1
3+3+3+1
3+3+2+2
3+3+2+1+1
3+3+1+1+1+1
3+2+2+2+1
3+2+2+1+1+1
3+2+1+1+1+1+1
3+1+1+1+1+1+1+1
2+2+2+2+2
2+2+2+2+1+1
2+2+2+1+1+1+1
2+2+1+1+1+1+1+1
2+1+1+1+1+1+1+1+1
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
sage:
Daca vrem reprezentarea "ca biscuite" putem sa cerem... (In ciclu mi-ar umple pagina.) De exemplu (spatierea conteaza, nu se vede aici, dar se vede la un Citeaza (si renunta)!):
for partitie in P.list():
if partitie > partitie.conjugate():
partitie.pp(); print partitie; print
Atunci obtinem:
**********
[10]
*********
*
[9, 1]
********
**
[8, 2]
********
*
*
[8, 1, 1]
*******
***
[7, 3]
*******
**
*
[7, 2, 1]
*******
*
*
*
[7, 1, 1, 1]
******
****
[6, 4]
******
***
*
[6, 3, 1]
******
**
**
[6, 2, 2]
******
**
*
*
[6, 2, 1, 1]
******
*
*
*
*
[6, 1, 1, 1, 1]
*****
*****
[5, 5]
*****
****
*
[5, 4, 1]
*****
***
**
[5, 3, 2]
*****
***
*
*
[5, 3, 1, 1]
*****
**
**
*
[5, 2, 2, 1]
****
****
**
[4, 4, 2]
****
****
*
*
[4, 4, 1, 1]
****
***
***
[4, 3, 3]
Am scris codul de asa natura incat dintre biscuite si biscuite transpus sa fie aratat doar unul, cel ce-mi ocupa mai putin loc.
In fine, nu sunt multi astfel de "biscuti muscati" cu zece celule ramase, la forma anume. Acesti biscuiti sunt un lucru important in matematica, se numesc forme (shape) de tablouri Young...
http://en.wikipedia.org/wiki/Young_tableau...
si recomand desenarea lor, este un exercitiu combinatoric estetic si util...
(Pe noi nu ne intereseaza inca reprezentarile ireductibile ale grupurilor simetrice, ci doar desenul listei complete de astfel de diagrame Young. In orice caz ...)
... vedem (folosind transpunerea) ca in fiecare caz avem cel putin
5 dâre critice pentru C. Bun.
Acum luam cele 20 de dâre si le scriem numele pe 20 de randuri.
Fiecare C din 0,1,...,9 este inscris / insemnat acum pe randurile cu dâra critica.
Sa vedem cu stau cele cel putin 5x10 insemnari pe cele 20 de dâre...
Pai va fi cel putin o dâra cu trei insemnari C1, C2, C2 pe ea. (Principiul lui Dirichlet, 50 > 2x20 + 1.)
Cele trei insemnari aduna cel mult 3x3 plasari de numere C1, C2, C3 pe dâra, deci mai e si un alt numar pe dâra. Am facut astfel rost de o dâra cu cel putin patru numere diferite inscrise in ea.
Access general
Conţine mesaje necitite
