Aratati ca daca:

atunci :

.

Notez cu aa patratul lui a (ca in secolul XV).
Fie d un numar natural ce divide atat (a+b) cat si (aa-ab+bb).
Atunci d divide si numarul
(a+b)(a+b)-(aa-ab+bb) = 3ab.

Fie p un numar prim din factorizarea lui d.
Deci p divide fie 3, fie a, fie b (-fie doi sau trei din factori).
Daca p divide a, deoarece p divide a+b, atunci p divide si (a+b)-a =b, lucru care contrazice (a,b) = 1 .
Daca p divide b dam de aceeasi contradictie.

Deci p divide 3.
Deci d este o putere a lui 3.
Deoarece d divide 3ab, dar a si b nu se divid cu 3 (din cele de mai sus), rezulta ca d divide 3. Deci d este 1 sau 3.

[Citat] Notez cu aa patratul lui a (ca in secolul XV). Fie d un numar natural ce divide atat (a+b) cat si (aa-ab+bb). Atunci d divide si numarul (a+b)(a+b)-(aa-ab+bb) = 3ab. Fie p un numar prim din factorizarea lui d. Deci p divide fie 3, fie a, fie b (-fie doi sau trei din factori). Daca p divide a, deoarece p divide a+b, atunci p divide si (a+b)-a =b, lucru care contrazice (a,b) = 1 . Daca p divide b dam de aceeasi contradictie. Deci p divide 3. Deci d este o putere a lui 3. Deoarece d divide 3ab, dar a si b nu se divid cu 3 (din cele de mai sus), rezulta ca d divide 3. Deci d este 1 sau 3.

Am postat pe "Cereri probleme" generalizarea acestei probleme. Daca p=3 atunci rezulta imediat concluzia, nu ?