|
|
|
|
iBac = materialul ULTRACOMPLET de pregătire pentru bac la mate. Dacă vrei poţi.
|
|
 |
|
 |
[1]
| Autor |
Mesaj |
|
|
Fie
astfel incat
. Sa se determine
maxim astfel incat:
---
Student Automatica
|
|
|
Asa cum e pusa problema, mai intai se dau si se fixeaza a,b,c - iar apoi in dependenta de ele se cauta un k.... [Citat]
Fie
astfel incat
. Sa se determine
maxim astfel incat:
|
Desigur ca cea mai buna alegere este (depinzand de a,b,c)
si problema e rezolvata.
Dar probabil ca problema propusa ar fi trebuit sa fie urmatoarea: Sa se determine numarul
Inainte de a o rezolva dau cateva comentarii: Problema este o problema tipica de analiza matematica de anul I sau II de facultate (depinde unde in lume) de matematica. Avem de gasit extremul / extremele unei functii de mai multe variabile pe un domeniu dat. Primul lucru pe care l-am facut a fost sa-mi asociez functia
f(b,c) = ( 1/(1+2*b) + 1/( 3+2*b*c ) ) / (4-b-c)
definita pe interiorul triunghiului D din planul (b,c) cu laturi pe dreptele b=0, c=0 si b+c=4.
La nivel de clasa a XI-a deja poate fi inteles ca o valoare infimum se obtine fie la marinea triunghiului - si avem desigur doar de inteles f(b,0) si f(0,c) mai indeaproape, fie in interiorul triunghiului - caz in care avem un minim (global/local) si de aceea derivatele (partiale) dupa b SI dupa c in acest punct se anuleaza. (Conditie necesara). Sistemul respectiv nu are insa solutii pe D. COD...
sage: f(b,c) = ( 1/(2*b + 1) + 1/(2*b*c + 3) ) / (4-b-c)
sage: numarator_eq1 = ( diff(f,b)(b,c) ) .factor() .numerator()
sage: numarator_eq2 = ( diff(f,c)(b,c) ) .factor() .numerator()
sage:
sage: numarat
numarator_eq1 numarator_eq2
sage: numarator_eq1
16*b^3*c^2 + 8*b^2*c^3 + 16*b^3*c - 20*b^2*c^2 + 32*b^2*c + 32*b*c^2 + 12*b^2 - 112*b*c + 2*c^2 + 48*b + 10*c - 60
sage: numarator_eq2
4*b^2*c^2 + 4*b^3 + 8*b^2*c - 14*b^2 + 16*b*c - 2*b + 12
sage:
sage: solve( [numara]
numarator_eq1 numarator_eq2
sage: solve( [numarator_eq1 == 0 , numarator]
numarator_eq1 numarator_eq2
sage: solve( [numarator_eq1 == 0 , numarator_eq2 == 0 ] , b,c )
[[b == (-1/2), c == 3],
[b == 0.652141527002, c == -0.447489391796],
[b == 2.93561103811, c == -3.47386519945],
[b == (-0.431023241341 - 0.0319821578164*I), c == (3.63025175206 + 0.0547510297862*I)],
[b == (-0.431023241341 + 0.0319821578164*I), c == (3.63025175206 - 0.0547510297862*I)],
[b == 0.524294156271, c == -8.83914893617],
[b == 1, c == 0]]
El are insa solutia b=1, c=0 ... O analiza mai atenta...
Sa zicem ca printr-un plot sau printr-o intuitie deosebita am ajuns la banuiala ca a=3, b=1, c=0 este punctul in care se atinge minimul expresiei date. Inlocuind dam de ceva de forma
iar unii oameni (eu de exemplu) sunt cuprinsi de o stare de nervozitate pe de o parte, pentru ca problema are sanse mari de a fi rezolvabila si prin "inegalitati elementare" (combinate neelementar) care de obicei dau egalitatea cand anumite variabile ce apar coincid..., pe de alta parte incearca cu curiozitate maxima sa vada cum arata o solutie elementara...
In cazul nostru am incercat sa ma scap de paranteza mai mare folosind inegalitatea dintre media aritmetica si cea armonica, (A+B)/2 este mai mare sau egala cu 2/(1/A+1/B) - una din putinele sanse ca plecand de la A+B-ul nostru sa dam de ceva mai simplu. Avem:
Astfal, speram si dorim sa demonstram pe D inegalitatea
Numitorii sunt pozitivi pe D. De aici incolo incerc sa dau solutia standard de clasa a IX-a, care dupa parerea mea este cea mai sigura (in conditii de examen sau olimpiada). Consideram functia h definita pe D data de
si vrem sa vedem ca este mai mare sau egala cu zero pe D. Deoarece c>0, probleme pot apare doar pentru b in intervalul (1,2). Avem grija doar de acest caz mai departe si studiem ca pe a IX-a semnul functiei de mai sus de gradul II in c pe intervalul [0,4-b] . Ca sa avem liniste mai intai observam ca
h(0) = (b-1)^2 este mai mare sau egal cu 0,
h(4-b) = 9 > 0
ca minimul pe acest interval este luat in - (b-1)(b-2) / (2b) (punct care se afla in (0,4-b) doar daca b in (1,2) , altfel nu) si calculam renuntand la artificii de orice gen
deoarece semnul expresiei bb -8b +4 pentru b in intervalul (1,2) este clar.
---
df (gauss)
|
|
|
[Citat]
Astfel, speram si dorim sa demonstram pe D inegalitatea
|
Altfel, inegalitatea asta este echivalenta cu
Aplicam inegalitatea mediilor:
Atunci ramane de demonstrat ca:
care este adevarata deaorece
.
---
Student Automatica
|
|
|
Multumesc, cautasem ceva de forma asta, dar nu am gasit.
---
df (gauss)
| [1]
|
Legendă:
|
 Access general
|
 Conţine mesaje necitite
|
47510 membri,
58522 mesaje.
|
|
|
|
 |
|
 |
© 2007, 2008, 2009, 2010 Pro-Didactica.ρ
|
