Care-i mai mare...ca la clasa a 5 a ...

sau

?

Deoarece stima mea pentru cei de a V-a incepe sa creasca din ce in ce mai mult, iata cum cred eu ca rezolva cineva de pe aceasta clasa, cu toate cunostintele presupuse a fi numai bune de a V-a prezentate una cate una pe aceasta pagina de oameni care (re)cunosteau unul cate unul una cate una din respectivele cunostinte:

In primul rand se presupune ca cea / cel de pe a V-a are un calculator de buzunar cu suficient de multe zecimale sau o tabela excel sau o rigla de calcul... (Lucrul acesta l-am presupus eu deja in mai multe locuri, dar nu mi s-a acceptat.)

Eu nu pot sa arat ce face acest elev / aceasta eleva cu rigla de calcul, dar cu un calculator de buzunar ar incepe sa bata in taste puteri ale lui 3 pana una e apropiata de o putere a lui 10. In loc de aceasta eu am tiparit:

sage: RRR = ContinuedFractionField()
sage: a = RRR( ln(10.) / ln(3.) )
sage: a.conver
a.convergent a.convergents
sage: a.convergents()
[2, 21/10, 44/21, 109/52, 153/73, 2098/1001, 2251/1074, 17855/8519, 323641/154416, 665137/317351, 1653915/789118, 2319052/1106469, 6292019/3002056, 21195109/10112637, 112267564/53565241]
sage: 3^21
10460353203
sage: 10^10
10000000000
sage: 3^235 > 10^110
True
sage: 21*11
231

Eleva / elevul de a V-a va vedea foarte repede ca puterea a 21-a a lui 3 este aproape de o putere a lui 10 si va scrie pe hartie:

apoi va ridica ambele parti la puterea a 11-a. Folosind (intuitiv) o inductie finita sau monotonia functiei putere a 11-a va deduce imediat de aici:

Foarte curioasa, eleva va dori sa vada daca 231 este cea mai "buna" (mica) putere intreaga care inca realizeaza inegalitatea de mai sus, ceea ce (pentru mine) e cel mai simplu de vazut cu calculatorul:

sage: 3^231 > 10^110
True
sage: 3^230 > 10^110
False

iar dupa confirmare si cu mana. Eleva va incerca sa arate ca

cel mai probabil in modul urmator:
Este evident ca 3^22 < 10^11 (deoarece 3^2=9 < 10) si trebuie ("doar") sa imbunatatim usor aceasta inegalitate grosolana...
Deoarece tot am calculat deja

3^21 =
10460353203 <
10500000000

inegalitatea ce ne mai lipseste iese din 9*105 = 945 < 1000 .

Eheee...lucrurile nu stau chiar asa...
Avem

Apoi

Adica :

,mai pe scurtatura

(1)
si

adica tot mai pe shortcut

(2)
Si daca ne mai apucam sa inmultim (1) cu (2) am obtine carevasazica

.
Cam asa stau lucrurile pe la clasa a 5 a!
N.B.1 Tre' sa recunoastem ca inegalitatea gasita de dvs. este mai tare !...
dar nu calculez

nici in ruptu' capului !
N.B.2 "Mi-a placut" remarca:..."Eleva / elevul de a V-a va vedea foarte repede ca..." !
N.B.3 Daca compul face toata treaba...noi cand mai gandim?

Trebuie sa recunoastem ca una din caracteristicile principale ale elevei / elevulu ide clasa a V-a este tenacitatea. (De exemplu cand noi ne plasam in pielea lor...)

Desigur ca solutia mea de mai sus nu este acceptabila pentru a V-a daca e sau nu e permis sa experimentam cu puterile lui 3 dincolo de o granita "insuportabila".

O mai buna aproximare a unei solutii de a V-a pentru rezultatul "mai bun" ar fi asa (dar tot trebuie sa calculam puteri, undeva trebuie sa aproximam bine - chiar si pentru cei de a XI-a problema este una buna de aproximare)...

Calculam usor primele cateva puteri ale lui 2 si 3 pana la un milion.
Macar atata sa fie permis...
Dam de

puterile lui 3 (ceva mai putine)
[1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049, 177147, 531441]

puterile lui 2 (ceva mai multe)
[1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384,
32768, 65536, 131072, 262144, 524288]

Ne uitam cam care sunt pe langa cam care.
Daca suntem generosi si in graba ne multumim cu 2187 > 2048.
(Desi o prima problema importanta a elevei / elevuilui de clasa a V-a e sa stie cum sta inegalitatea...) Mai putem merge o vreme, nu prea departe cu calculele, vazand ca avem la indemana o inegalitate foarte stransa !
Anume 531441 > 524288 .

(Pe 2^10 = 1024 il stim deja, 2^20 se calculeaza usor si 2^19 e atunci la indemana.)

De aici pana la solutie
(dupa aceeasi idee de spargere in atomi a lui 10 si de a face rost de majorari pe bucati, pentru ca bucatile au ceva mai multe puteri de aproximat, dar puterile lui 10 urca rapid si nu se abat prea des in zona puterilor lui 3, o idee simpla de clasa a V-a,)
nu mai e mult. Avem deci (folosind cat se poate de mult inegalitatile mai stranse):

Stiu, recunosc, era calculatoarelor ne abate rau de la gandit, atat pe mine cat si pe copiii astia, dar nu din cauza ca mai calculam ceva cu ele... Pozele astea, videourile alea si jocurile alealalte...

Problema "i faina" !
Multumesc de postare si de solutie !
(Nici nu m-am gandit inainte sa-l sparg pe 10-le ala... Deformatie de programator, recunosc.)