Varianta clasa a 9-a:

Vectorii

si

au aceeasi lungime. Aratati ca doi dintre ei sunt opusi.

Varianta clasa a 10-a:

Numerele complexe

au proprietatea

Aratati ca doua dintre cele trei numere au suma egala cu zero.

Varianta clasa a 10-a usor schimbata (c'=-c si d'=a+b-c' in notatiile de mai sus):

Numerele complexe

au proprietatile

.

Aratati ca multimile cu cate doua elemente coincid:
{a,b} = {c',d'} .

Varianta clasa a 5-a (pentru care respectul meu a crescut mult in ultimele zile):

Fie O un punct in plan.
Pe un cerc fixat cu centru in puntul O se considera punctele A,B,C,D, astfel incat triunghiurile OAB si OCD sunt nedegenerate.
(Pentru OAB se exclud deci cazurile AB diametru si/sau A=B.)
Construim romburile OANB si OCPD cu diagonalele ON si OP.

Stiind ca N=P sa se arate ca {A,B} = {C,D}
(adica ca triunghiurile OAB si OCD au aceleasi varfuri.)

Demonstratia variantei de clasa a 5-a:
Fie R mijlocul segmentului ON=OP.
Deci coardele AB si CD din cercul dat sunt paralele (fiind ambele perpendiculare pe OR) si trec prin R deci coincid.

Iata o varianta usor modificata impreuna cu solutia ei( pe care eu chiar o stiu din clasa a 10):
Fie a, b, c numere complexe distincte astfel incat |a|=|b|=|c| si
|b+c-a|=|a|.
Demnstrati ca b+c=0

Vectorii

si

evident sunt laturile unui patrulater. Cum au aceeasi lungime, acest patrulater este romb. Desigur, asta implica faptul ca suma a doi vectori dintre

este zero.

[Citat] Varianta clasa a 9-a: Vectorii si au aceeasi lungime. Aratati ca doi dintre ei sunt opusi. Varianta clasa a 10-a: Numerele complexe au proprietatea Aratati ca doua dintre cele trei numere au suma egala cu zero.

Deoarece

vectorii u+v, u+w sunt ortogonali. Acelasi argument aplicat inca de doua ori ne lasa cu TREI vectori in plan ortogonali doi cate doi:

Prin urmare unul dintre acestia trebuie sa fie zero.

Foarte frumoasa solutia...si bine ati revenit pe forum