[Citat]

Nu cumva

?

Nu.

[Citat] Nu.

Mii de scuze!Am considerat ca cercul este circumscris triunghiului.Remarc totusi ca in cazul in care e vorba de cerc circumscris atunci problema este valabila cu conditia ca

iar triunghiul dreptunghic nu poate fi (rectific) decat isoscel.Gresesc cumva?Revenind la problema propusa rezolvarea se poate face considerand un triunghi isoscel si cercul inscris in acesta si relatia

este evidenta pentru cazul triunghiului isoscel si dreptunghic isoscel.In cazul unui triunghi dreptunghic cu catetele neegale nu este valabila relatia

.Gresesc cumva?

[Citat] In cazul unui triunghi dreptunghic cu catetele neegale nu este valabila relatia .Gresesc cumva?

Da.

[Citat] [Citat] In cazul unui triunghi dreptunghic cu catetele neegale nu este valabila relatia .Gresesc cumva? Da.

Poate nu inteleg eu bine problema!!!????Daca consideram ca triunghiul este oarecare atunci rezulta imediat ca exista si un triunghi CIN si in acest triunghi nu poate avea loc relatia

si de aceea in cazul unui triunghi isoscel sau in cazul triunghiului dreptunghic isoscel punctele C,I,N sunt pe o aceiasi dreapta care este de fapt inaltimea CM , astfel incat relatia

este evidenta.Eu nu mai zic nimic si astept demonstratia Dvs..

[Citat] si in acest triunghi nu poate avea loc relatia

De ce?


Uploaded with ImageShack.us

[Citat] [Citat] si in acest triunghi nu poate avea loc relatia De ce? Uploaded with ImageShack.us

M-am lamurit!Frumoasa problema si acum trebuie sa demonstrez ca este asa....Mai cercetez sa vad cate triunghiuri dreptunghice diferite corespund ipotezei din problema.Va multumesc!

Indica?ie: condi?ia din problem? poate fi interpretat? a?a: cercul înscris în triunghi este tangent interior cercului cu diametrul CM.

A doua indica?ie: http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Feuerbach.shtml

Dup? cum am spus, în indica?ie, condi?ia din problem? poate fi interpretat? a?a: cercul înscris în triunghi este tangent interior cercului cu diametrul CM.

Pe de alt? parte, conform celei de-a doua indica?ii, teorema lui Feuerbach spune c? cercul celor 9 puncte (cunoscut la noi sub numele de cercul lui Euler) este tangent la cercul înscris în triunghi. Cercul celor 9 puncte trece prin mijloacele laturilor, picioarele în?l?imilor ?i mijloacele segmentelor care unesc ortocentrul cu vârfurile.

Dac? presupunem c?

, atunci piciorul inal?imii din C difera de M. Astfel, cercul celor 9 puncte trebuie sa treaca prin C, ceea ce e posibil doar daca unghiul C este drept.

Dupa indicatia de a folosi proprietatea punctului Feuerbach de tangenta intre
(I) cercul inscris si
(9) cercul celor 9 puncte
lucrurile se termina desigur repede. Mi-a trebuit totusi o vreme sa gasesc legatura intre (9) si cercul (C) de diametru CM, pana cand am vazut ca cele trei conditii

M pe (C) si (9)

C' (proiectia lui C pe AB) pe (C) si (9) ... (cazul M diferit de C' face doar probleme)

tangentza la (I) a lui (C) si (9)

- impreuna cu faptul ca coarda comuna C'M a lui (C) si (9) este tangenta la (I) -

determina (C) = (9)
(in cazul M diferit de C' desigur doar)

deci C este piciorul inaltimii din A pe BC (si a lui B pe AC), deci C este drept.

Din pacate, nu cred ca as fi avut sansa sa gasesc demonstratia scurt circuit de mai sus. Doar cu titlu de curiozitate mentinez o "demonstratie" pur algebrica, care odata gasita m-a impiedecat chiar sa mai caut.

Demonstratia "algebrica" (calcule brutale) pleaca de la formulele cunoscute pentru afixele punctelor I,M,N in triunghiul cu varfurile A,B,C si laturile de lungimi a,b,c, anume notand cu P = a+b+c perimetrul si cu p = P/2 semiperimetrul :

De aici am incercat sa reformulez egalitatea |CN| = |IN|+r de asa natura incat sa ma scap de toate patratele care apar. Am desigur nevoie de doua ridicari la patrat, relatia de mai sus implicand imediat:

Prin prisma relatiilor de mai sus se vede ca membrul stang in ultima relatie este o expresie algebrica (rationala) in variabilele a,b,c, iar curiozitatea m-a pus sa o calculez. Acest lucru este relativ usor in secolul nostru,

var( 'a,b,c' ); # de aici incolo a,b,c sunt simboluri (variabile) definite

P = a+b+c
p = P/2
CN = sqrt( (a^2+b^2)/2 -c^2/4 ) / 2;
IN = sqrt( (a/P-1/4)^2 * b^2 + (b/P-1/4)^2*a^2 + (a/P-1/4)*(b/P-1/4)*(a^2+b^2-c^2) )
S = sqrt( p*(p-a)*(p-b)*(p-c) ) # Heron
r = S/p # dupa cum rezulta uitandu-ne la ariile lui ABC:IAB,IBC,ICA

F = ( CN^2 -IN^2-r^2 )^2 - 4*IN^2*r^2;

F.factor()


Ei bine, n-as fi postat, daca codul de mai sus n-ar fi livrat...

sage: F.factor()
1/8*(a - b)^2*(a + b - c)*(a^2 + b^2 - c^2)/(a + b + c)


(De aici rezulta ca un triunghi cu proprietatea data este fie isoscel, fie dreptunghic in C. Implicatia inversa este simpla...)

Nu vreau sa spun ca aceasta solutie este cumva interesanta. Din contra.
Insa este bine de vazut ca daca suntem in viata in conditii de "legitima aparare" si este nevoie de un tanc ca sa trecem prin materie, atunci avem un ajutor bun in masina de calcul.